bjr
pour montrer qu'elle est décroissante, procède par récurrence
puis montre que la suite est minorée
toute suite décroissante et minorée converge

bonjour je pense avoir résolu ton probléme mais je ne suis pas sur d'avoir le droit de faire une étape que j'ai appliqué ...

pour commencer tu dois avoir (Pn) : Un+1 - Un 0  car Un doit étre decroissante.

Initialisation :
Uo = 1
U1 = ln(1+0) = ln1 = 0
donc U1 - Uo 0

Heredité
on suppose que Uk+1 - Uk 0
On montre que U((k+1)+1) - U(k+1)   0
              U(k+2) - U(k+1) 0

U(k+2) - U(k+1) = ln(1+U(k+1)) - ln(1+Uk)
                = ln [(1+U(k+1)) / (1+Uk)]
  ici pas sur : = ln [ (e^1+(Uk+1)) / (e^1+Uk) ]
                = 1n(e^1+(Uk+1)) - ln(e^1+Uk)
                = 1+U_k+1 - 1 -Uk
                = U_k+1-Uk
Or on sais que U_k+1-Uk 0
Donc U(k+2) - U(k+1) 0

Donc Pn vérifié pour n=k+1 et pour n=0 donc pn est vrai ...
Dite moi si mon étape est fausse ....

bonsoir
je ne crois pas que tu aies le droit de faire ça
pour moi il suffit juste de faire

supposons qu'il y ait un rang n pour lequel
   u_n+1u_n
on ajoute 1 de chaque côté
  1+u_n+11+u_n
puis on passe aux ln (car x-> ln(x) croissante) attention, il faut pouvoir être sur que ce qu'on va mettre dans le ln est strictement positif (peut etre ta suite est-elle à termes positifs?)
tu as directement u_n+2u_n+1

bonsoir U0>0=>1+U0>1=>u2>0,H de récurrence :Un>0=> 1+Un>1=>ln(1+Un)>0 donc Un+1>0tous les termes de la suite sont donc positifs
U0=1=>U1=ln(1+1)=ln2<1=>U1-U0<0
Hypothèse de récurrence:Uk+1<Uk=>Uk+1 +1<Uk +1<=>ln(Uk+1 +1)<ln(Uk +1) (car la fonction ln est croissante)soit Uk+2<Uk+1=> la propriété est héréditaire,la première différence étant négative pour tout n de N Un+1 -Un <0  LA SUITE EST DECROISSANTE
ta démonstration est inexacte quand tu utilises l'exponentielle.

ok merci de me le signaler

mais quand tu as

U_k+1 +1<U_k +1

k+1 est en indice donc si tu fais +1 ca ne fais pas k+2 ?
U_k+1 +1 U_k+2