Bonjour,
voici un exercice que j'ai à faire pour demain
Soit (u_n) la suite définie par u₀=2020 et pour tout entier naturel n, u_n+1=u_n
1) démontrer par récurrence que cette suite est minorée par 1
2) démontrer que la suite (u_n) est décroissante
3) conclure quand à la convergence de la suite (u_n)
4) Conjecturer avec une calculatrice la limite de la suite (u_n)
Piste : Utiliser le fait que la fonction racine carrée est croissante sur l'intervalle [0;+[
Voici ce que j'ai fait
1) pour tout entier n, posons la propriété Pn:u_n>1
on sait que u₀= 2020 ainsi u₀>1 la propriété P₀ est vraie
on suppose qu'il existe un entier k tel que la propriété p_k soit vraie c'est à dire u_k>1 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1 c'est-à-dire u_k+1>1
par hypothèse de récurrence u_k>1, on enlève 1 de part et d'autre de l'égalité
-1+u_{k>1-1
-1+u[sub]k}>0 on a donc u_k>1 ainsi la propriété p_k+1 est vraie
conclusion : puisque la propriété p_u est vraie et que nous avons l'hérédité on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel n, on a p_n vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel n on a bien :
u_n>1
2) u_n+1-U_n

u_n- 2020 1
alors la suite est décroissante (vu que la racine de u_n va être inférieur à 2020
3)Comme u_n est décroissant et minorée alors u_n converge
4) Une suite décroissante, minorée par 1 lim (en dessous ) u = 1

Merci de me dire ce que vous en pensez.