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Les suites, Aidez moi SVP!
Bonjour,
Voici mon problème :
On considère la suite (Un) définie par Un = n²/n! pour tout n.
Démontrer qu'à partir d'un certain rang on a n² < n(n-1)(n-2).(conseil
: Pensez a étudier le signe de la différence)
Majorez (Un) par une suite qui converge vers 0.Concluez
J'ai déjà démontré que la suite Un était décroissante et qu'elle
convergeait.
Je suis totalement perdue, pouvez vous m'aider s'il vous plait?
n²-n(n-1)(n-2) = n(n-(n-1)(n-2)) = -n(n²-4n+2)
(n²-4n+2) s'annule pour n=2+racine(2) et 2-racine(2)
Pour n > 2+racine(2), on a (n²-4n+2) > 0
mais n étant entier, à fortiori, pour n > 3, on a (n²-4n+2) > 0
Donc pour n > 3, on a : -n(n²-4n+2) < 0
donc n²-n(n-1)(n-2) < 0
n² < n(n-1)(n-2)
Un < n(n-1)(n-2) / n!
Un < 1/(n-3)! qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
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