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Les Tiroirs De Dirichlet Merci
Bonjour, j'ai cet exercice à faire mais je n'arrive pas les questions 1/ et 2/.Je vous remercie beaucoup d'avance.
S1,S2,S3,...,S8 sont huit entiers naturels définis par S1=1,S2=11,S3=111,..,S8=11 111 111
1/a/ Démontrer que parmi ces huit entiers, il y en a deux au moins, qui ont même reste dans la division par 7.
b/On note Sp et Sp' ces deux entiers avec 1
p<p'8. Démontrer que Sp'-Sp est divisible par 7.
2/Démontrer l'existence d'un entier naturel divisible par 7 et dont l'écriture décimale ne contient que des 0 ou des 1.
3/Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel divisible par n dont l'éciture décimale ne contient que des 0 ou des 1.
Je vous remercie pour votre aide précieuse.Merci
C'est parti!
1) Les seuls restes possibles dans la division euclidienne par 7 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, et 6. Il y en a donc 7.
Cependant, il y a 8 nombres donnés. Donc, il y en aura forcément au moins 2 qui auront le même reste.
2) Si Sp est divisible par 7, alors il existe un couple (q, r), q entier relatif, tel que:
Sp = 7q + r
0 <= e < 7
De même, on peut noter:
Sp' = 7q' + r
0 <= r < 7
On calcule donc:
Sp' - Sp = 7q + r - 7 q' - r = 7 (q' - q)
Or, q'-q est un entier relatif.
Donc, Sp'-Sp est bien divisible par 7.
J'ai fait une petite erreur de frappe dans la réponse 2:
C'est
Sp = 7q + r
0 <= r < 7
Je vous remercie énormément pour votre aide
Bonjour. J'ai moi aussi cet excercice à faire mais ce que je n'arrive pas à faire c'est les questions 2/ et 3/. Merci de votre aide.
Bonjour j'ai aussi cet exercice sur les tiroirs de Dirichlet , j'ai reussi à faire la question 1a et 1b vos résultats et votre démarche me l'a confirmé mais je n'arrive pas faire la question je connais le résultat qui est S8- S2 c'est à dire 11111111-11= 11111100 mais je ne sais pas comment l'expliquer et le démontrer.
Merci d'avance pour votre aide !
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