Bonjour à tous,

Je suis en train de lire un ouvrage d'automatique portant sur l'identification et je bloque sur un passage que je n'arrive pas à comprendre.

Pour vous situer le contexte:
On dispose d'un système O qui sort une sortie en fonction d'une entrée e(t)
On connaît la structure de la fonction de transfert de ce système et on sait notament qu'elle contient K paramètres que l'on regroupe dans un vecteur p.
Le but du jeu est donc de trouver ces K paramètres.
Pour cela, on utilise un modèle M qui, soumit à la même entrée e(t), produit une sortie
L'auteur définit une distance de structure:
D(O,M)= norm ()

Il définit également une distance d'état D comme étant:
D=

L'auteur montre qu'il existe un lien entre ces deux distances et propose, pour trouver le meilleur vecteur p possible, de minimiser la distance d'état

Il commence par faire un développement limité à l'ordre 2 de la fameuse distance:
(1)
où g et A sont respectivement le gradient et le hessien de la distance


Ensuite, il pose:

Il remarque qu'au minimum de D, le gradient est nul, et que donc, d'après (1), est une forme quadratique:
  (2)

Ensuite, y'a tout un chapitre sur les fonctions de sensibilité.
Puis, on arrive sur un chapitre où l'auteur traite des pentes.
Il cherche visiblement à rechercher la pente maximale de la fonction D dans l'espace paramétrique (certainement pour préparer un algo qui convergera vers la solution optimum).
Il linéarise localement la fonction D autour d'un point par un développement limité du 1er ordre:

et exprime la pente:

il trouve que, pour que la pente soit maximale, doit être colinéaire au gradient g(p).
Jusque là .. je comprends ..
Mais après, il dit :
"Plaçons nous au point nominal et rapportons la quadrique (2) a ses axes principaux, il vient :


où les sont les valeurs propres du Hessien A et les nouvelles coordonnées dans l'espace paramétrique. Le vecteur gradient, par rapport à ces coordonnées, a pour composantes:

"

Je ne comprends pas comment il fait pour exprimer D en utilisant uniquement les valeurs propres du Hessien ..
Je dois probablement ignorer un résultat élémentaire d'algèbre linéaire ..
Si c'est le cas .. quel est-il?
Quelqu'un peut-il m'expliquer par quelle magie l'auteur arrive à écrire ce genre de chose ?
Que sont les axes principaux?

Franchement .. je bloque ..

Remarque: ce que l'auteur appelle le point nominal est le point de l'espace paramétrique où