fm (x) = (x+m) exp(x)

question 1 vous avez traité.

vous devez avoir :

f'm(x)=(x+m+1)exp(x)= fm+1(x)

s'annule en x=-(m+1)  et fm(-m-1)= -exp(-m-1)

fm est donc décroissante sur ]-oo,-m-1] et croissante sur [-m-1, +oo[

qq points particulier de Cm courbe de fm:

(-m,0) et (0,m) et le minimum (-m-1, -exp(-m-1)).

2)a) d'après question 1 Sm=(-m-1, -exp(-m-1)).

b) si M(x,y) est un point du lieu des Sm alors x=-m-1 et y=-exp(-m-1)

donc y = -exp(x)  en éliminant m entre les deux expressions de x et y.

La courble de ce lieu est la symétrique de la courbe de la fonction
exponentielle par rapport à l'axe des abscisse.

3) vous devez pouvoir la traiter en utilisant les résultats des questions
précédente. Faites attention à la position relative des courbes C0,C-1
et C-2 par rapport au lieu des Sm y=-exp(x)

4) Soit M(a,b) un point du plan

M E Cm ssi il existe un m E R tel que b=(a+m)exp(a)
             ssi il exite m E R tel que m=bexp(-a) - a. m est unique.
             ssi M E C(bexp(-a) - a).

voila bon courage. La prochaine fois vous précisez exactement ce qui vous
ploque en montrant que vous avez essayé de résoudre le problème.
Vous convenez que c'est plus pédagogique.

1)

fm = (x+m).e^x
Df: R

fm '(x) = e^x + (x+m)e^x
fm '(x) = (x+m+1)e^x

e^x > 0 quel que soit x -> fm '(x) a le signe de x + m + 1

fm '(x) < 0 pour x compris dans ]-oo ; -(m+1)[ -> fm(x) est décroissante.
fm '(x) = 0 pour x = -(m+1)
fm '(x) > 0 pour x compris dans ]-(m+1) ; oo[ -> fm(x) est croissante.

Il y a un minimum de f(x) pour x = -(m+1)

lim(x-> +oo) fm(x) = +oo
lim(x-> -oo) fm(x) = 0
La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontal à Cm du coté
des x négatifs.
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2)
a)
La tangente à Cm est paralléle à l'axe des abscisses au point d'absisse
A pour lequel fm '(A) = 0, soit pour A = - (m+1)

fm(-(m+1)) = (-m-1+m).e^(-(m+1))
fm(-(m+1)) = -e^(-(m+1))
Sm(-(m+1) ; -e^(-(m+1)) )
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b)
X = - (m+1)
Y = -e^(-(m+1))

Y = -e^X
y = -e^x est l'équation du lieu de Sm lorsque m décrit R. (exponentielle).
(Cela signifie que lorsque m décrit R, Sm décrit la courbe représentée
par la fonction y = -e^x)
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3)
Les dessins sont pour toi.
A dessiner:
C0 : f0(x) = x.e^x
C1 : f1(x) = (x+1).e^x
C2 : f2(x) = (x+2).e^x
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4)
fm(a) = (a + m).e^a
fm(a) = a.e^a + m.e^a
Si on veut que fm(a) = b, on a:
b = (a + m).e^a
m = (b/(e^a)) - a
m = (b - a.e^a)/e^a.

Donc imposer a et b revient à imposer la valeur de m.
-> par un point M donné de cooordonnées (a,b), il passe une seule courbe
Cm (avec m = (b - a.e^a)/e^a).
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Sauf distraction.