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Niveau Licence Maths 1e ann
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Ligne de niveau

Posté par
Gabrieledu69
08-10-20 à 03:02

**Bonjour / bonsoir **

Pour la fonction f(x,y)=\frac{sin(x)cos(y)}{x^{2}+y^{2}+1}, la ligne de niveau 0 est :
(1) Deux droites;
(2) Un cercle de rayon \pi et un cercle de rayon 2\pi;
(3) Un collection infinie de droites;
(4) Une collection infinie de cercles concentriques.
Une seul bonne réponse.

Ligne de niveau 0, donc on a :

\frac{sin(x)cos(y)}{x^{2}+y^{2}+1}=0

sin(x)cos(y)=0

\frac{1}{2}(sin(x+y)+sin(x-y))=0

sin(x+y)=sin(y-x)

arcsin(sin(x+y))=arcsin(sin(y-x))

x+y=y-x

2x=0

Je ne comprend donc pas puisque je trouve une droite... Quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
Foxdevil
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 03:19

Bonsoir,

Arcsin(sin(t))=t seulement sur  [\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}]...

C'est cette simplification que tu fais qui empêche  de trouver toutes les autres solutions....

Posté par
malou Webmaster
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 08:41

Bonjour
mais comment est réellement définie f ? dire " f(x,y)= " n'est pas suffisant...

Posté par
carpediem
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 10:24

saut

j'ai appris au collège la règle du produit nul : si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0

(il y a même équivalence)

Posté par
malou Webmaster
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 10:40

bien mon avis, d'où ma question ....

Posté par
carpediem
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 11:17

ha d'accord (je n'avais pas vraiment compris ta question)

Posté par
Gabrieledu69
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 14:47

Franchement je n'y arrive pas même avec votre aide et je ne vois même pas comment définir f

Posté par
GBZM
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 14:57

Bonjour,
f est défini dans ton premier message. Et de cette définition il découle que f(x,y)=0 si et seulement si \sin(x) = 0 ou \cos(y)= 0.
Par exemple, que est l'ensemble des points (x,y) du plan tels que \sin(x)=0 ?

Posté par
Gabrieledu69
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 15:26

Bonjours, les points (x,y) du plan tel que sin(x)=0 et cos(x)=0 sont ((\pi +k\pi; \frac{\pi }{2}+k\pi ) avec k\in N

Posté par
GBZM
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 15:32

Hum hum.

Tu devrais lire ce qui est écrit avec plus de soin :
J'écris \sin(x)=0 ou \cos(y)=0, tu lis \sin(x)=0 et \cos(y)=0 (et même tu écris \cos(x)=0 !!).

Pour enfoncer le clou de ce qui t'a déjà été dit : on a ab=0 si et seulement si a=0 OU b=0.

Posté par
Gabrieledu69
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 15:44

Si je l'avais bien vu, mais je ne vois pas comment décrire les point (x,y) du plan si l'ont ne parle que de sin(x)=0 et et pas des deux en même temps

Posté par
malou Webmaster
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 15:47

avec de la couleur peut-être...

Citation :
Pour enfoncer le clou de ce qui t'a déjà été dit : on a ab=0 si et seulement si a=0 OU b=0.

Posté par
Gabrieledu69
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 15:55

sin(x)=0 et -1\leq cos(y)\leq 1
x=\pi +k\pi  et \pi \leq y\leq 2\pi

ou

cos(y)=0 et -1\leq sin(x)\leq 1
y=\frac{\pi }{2}+k\pi et -\frac{\pi }{2}\leq x\leq \frac{\pi }{2}

Posté par
GBZM
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 16:12

Gabrieledu69 @ 08-10-2020 à 15:44

Si je l'avais bien vu, mais je ne vois pas comment décrire les point (x,y) du plan si l'ont ne parle que de sin(x)=0 et et pas des deux en même temps


Tu ne vois pas par exemple comment on peut décrire l'ensemble des points (x,y) du plan tels que x= 2 ????

Posté par
carpediem
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 16:51

Gabrieledu69 @ 08-10-2020 à 15:44

Si je l'avais bien vu, mais je ne vois pas comment décrire les point (x,y) du plan si l'ont ne parle que de sin(x)=0 et et pas des deux en même temps
si tu veux les deux variables en même temps :

\sin x = 0 \iff \left\lbrace\begin{matrix} \sin x = 0\\ y = y \end{matrix}\right.

et de même \cos y = 0 \iff \left\lbrace\begin{matrix} \cos y = 0\\ x = x \end{matrix}\right.

et l'accolade est équivalente à un ET

en d'autres termes la résolution de ton équation conduit à deux conditions mais dans chaque cas la condition ne dépend que d'une variable

malou @ 08-10-2020 à 15:47

avec de la couleur peut-être...
Citation :
Pour enfoncer le clou de ce qui t'a déjà été dit : on a ab=0 si et seulement si a=0 OU b=0.
alors qu'ici le OU correspond à une disjonction de cas : soit ... soit ...

Posté par
Gabrieledu69
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 16:53

Donc si je fait comme tu dit avec x=2, les points du plan (x,y)  tel que sin(x)=0  sont (\pi +k\pi ,y). C'est bien cela ?

Posté par
GBZM
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 16:57

Ben oui, tout bêtement les droites x = k\pi pour k\in \mathbb Z.
N'oublie pas l'autre moitié du "ou".

Posté par
malou Webmaster
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 17:13

personne ne relève mais je serais curieuse de savoir ce que Gabrieledu69 a derrière la tête quand il écrit ceci
j'ai comme qui dirait des craintes...

Gabrieledu69 @ 08-10-2020 à 15:55

sin(x)=0 et -1\leq cos(y)\leq 1
x=\pi +k\pi et {\red{\pi \leq y\leq 2\pi}

ou

cos(y)=0 et -1\leq sin(x)\leq 1
y=\frac{\pi }{2}+k\pi et {\red{-\frac{\pi }{2}\leq x\leq \frac{\pi }{2}}

Posté par
Gabrieledu69
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 17:31

Donc f(x,y)=0 si et seulement si sin(x)=0 décrit par les points (\pi +k\pi ,y)
ou cos(x)=0 décrit par les points (x,\frac{\pi }{2}+k\pi).
Mais ces points décrivent des cercles ?

Posté par
GBZM
re : Ligne de niveau 08-10-20 à 17:40

Oh la la !

Tu devrais faire un "control reset" pour redémarrer dans la bonne voie. Ressaisis-toi !



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