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Ligne médiatrice de deux fermés dans le plan euclidien
On note E le plan réel 
2 muni de la distance euclidienne. On considère deux parties compactes A et B de E contenues respectivement dans les demi-plans ouverts y>0 et y<0. On note 
l'ensemble des points du plan qui sont équidistants des deux compacts.
Montrer que est exactement le graphe d'une application continue f:
.
L'exercice admet une suite très riche. On peut en effet ensuite se demander si f est plus que continue: uniformément continue? lipschitzienne? On peut aussi se demander si f admet des dérivées à droite ou à gauche, étudier ses branches infinies. Enfin, on peut se demander quels résultats subsistent quand on ne suppose plus A et B compactes mais seulement fermés.
Si quelqu'un a des idées pour me débloquer... En particulier je ne vois pas du tout pourquoi, pour chaque x
, il existe un unique y réel tel que le couple (x,y) soit équidistant de A et B.
je ne vois pas du tout pourquoi, pour chaque x, il existe un unique y réel tel que le couple (x,y) soit équidistant de A et B.
Attention, le graphe d'une application continue ça ne veut pas dire que si tu fais un repère orthonormé, ce sera le graphe d'une application dans ce repère. Le repère peut être n'importe où.
A part ça, Gamma est par définition l'ensemble des points M tels que d(A,M)=d(B,M); Ainsi si on note H l'application M -> H(M)=d(A,M)-d(B,M), alors Gamma est l'ensemble des M tels que H(M)=0
Rappel : d(A,M)=inf d(a,M) où l'inf est pris sur les a appartenant à A
... ma cuisine m'appelle!
Désolé mais pour moi, le graphe d'une application de vers est un sous-ensemble H de 2 tel que, pour tout x, il existe un unique y pour lequel (x,y) appartient à H. Or est précisément défini comme un ensemble de points de 2, c'est-à-dire de couples (x,y) (dans le repère base canonique). Et je vois mal comment pourrait être en même temps un autre sous ensemble de 2, celui obtenu en prenant les coordonnées des points de dans un autre repère.
Je ne demande qu'à adopter ta définition d'un graphe, mais je ne vois pas de contre-exemple qui prouverait que la fonction f n'est pas toujours définie par rapport au repère canonique. D'ailleurs si c'est vrai, l'exercice me paraît encore plus difficile...
arf désolé dans ton énoncé c'est A et B contenues respectivement dans les demi-plans ouverts y>0 et y<0, et j'avais confondu y avec x, c'est peut-être juste ainsi je retire ce que j'ai dit.
Une piste :
Tu fixes x. On veut montrer qu'il existe un unique y tel que d(A,(x,y))-d(B,(x,y))=0. L'application y->d(A,(x,y))-d(B,(x,y)). Il doit y avoir moyen de démontrer qu'elle est négative quand y est grand et positive quand y est petit (faire un dessin). Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe y telle qu'elle s'annule en y. Pour l'unicité je sais pas.
Il doit y avoir moyen de démontrer qu'elle est négative quand y est grand et positive quand y est petit
.. ou plus simplement qu'elle tend vers -l'infini quand y tend vers +l'infini et vice-versa
L'application y->d(A,(x,y))-d(B,(x,y))
... je n'ai pas fini ma phrase : cette application est continue.
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