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Lignes trigonométriques
Bonjour,
J'ai un problème de maths à résoudre et je ne comprends pas ce qu'il faut faire.
A l'aide du logiciel Geogebra, on a obtenu les résultats suivants :
Calcul formel
TrigoDévelopper(sin(5x))
(16cos4(x)-12cos2(x)+1) sin(x)
Factoriser ($1)
(4cos2(x)-2cos(x)-1)(4cos2(x)+2cos(x)-1) sin(x)
La commande $1 permet de rappeler le résultat de la ligne numéro 1
1. En utilisant les résultats donnés par le logiciel, justifier que cos 
/5 est solution de l'équation (E), avec (E) (4X2-2X-1)(4X2+2X-1)=0
2. Démontrer que la valeur exacte de cos/5 est (1+
5)/4
3. En déduire la valeur exacte de sin /5
4. Calculer la valeur exacte de cos2/5
Avec Geogebra, je trouve effectivement que cos /5 est une solution de l'équation (16cos4(x)-12cos2(x)+1) sin(x)=0
et que (1+5)/4 est une solution de (4X2-2X-1)(4X2+2X-1)=0 mais je ne comprends pas ce que je dois faire.
Merci pour votre aide.
L'exercice te fait remarquer que les équations suivantes sont équivalentes :
sin(5x) = 0
(16cos4(x)-12cos2(x)+1) sin(x) = 0
[4cos2(x)-2cos(x)-1][4cos2(x)+2cos(x)-1] sin(x) = 0
C'est la troisième équation qui t'intéresse car si tu mets comme inconnue cos(x) tu obtiens un produit nul dont deux membres sont des trinômes du second degré. Tu peux donc résoudre ce produit nul et trouver toutes ses solutions. Or, tu as dit toi-même que cos(/5) était solution de (E). Donc une des solutions que tu as trouvées est la valeur exacte de cos(/5) ; tu peux t'aider du cercle trigonométrique pour savoir laquelle.
Pour les questions 3 et 4, c'est de la bidouille, tu devrais y arriver.
Merci... effectivement j'ai trouvé sur Geogebra que cos(/5) est une solution mais comment puis-je le trouver sans geogebra puisqu'on me demande de le justifier?
Comme on nous l'a fait remarquer, les équations suivantes sont équivalentes :
sin(5x) = 0
(16cos4(x)-12cos2(x)+1) sin(x) = 0
[4cos2(x)-2cos(x)-1][4cos2(x)+2cos(x)-1] sin(x) = 0
Par définition de l'équivalence de ces équations, toute solution de l'une est aussi solution des autres. Or, ne connais-tu pas une solution évident de sin(5x) = 0
Bonjour Effka,
Je reviens vers toi car j'ai un peu de mal avec la bidouille comme tu dis.
Pour le 3, je suis partie de la formule trigonométrique qui donne cos2x+sin2x=1
Mais j'obtiens comme valeur exacte de sin/5 une valeur assez complexe
((5-5)/8)
Ne puis-je pas faire mieux?
Et pour le 4, je ne vois pas... de quoi il faut partir.
MErci encore une fois pour ton aide.
Bonjour,
Ne puis-je pas faire mieux?
non à moins que d'écrire
4) utiliser la formule des angles doubles
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