salut , c'est ma premiere post dans cette forum , si vous pouvez m'aider a resoudre cette exercise je vous en serez reconnaissant :

soit a_n la suite nemurique defini par son premier terme : a₁ = 1 , et a_n+1=1 + a₁*a₂*a₃*....*a_n ,

on met : S_n = 1/(a_i)

Definez la limit du S_n quand n tend vers l'infini

merci de posted la soluton ici

hum plutot compliquer pour un exo de terminal...

il demande la valeur exacte de la limite ?
vous avez fais quoi en cour qui peut se raporter a ce genre de chose ?

salut
si vous pouvez resoudre cette exercise je vous en serez reconnaissant :

Soit a_n la suite defini par :
a₁=1
a_n+1= 1 + a₁*a₂*....*a_n .

on met S_n = _i

calculez la limit du S_n au +

et merci encore une foi

*** message déplacé ***

on a juste etudiez les suites numeriques, et les limites reguliers

apres quelque heur de reflexion, j'ai fini par comprendre la methode...

on fais la conjecture que la suite converge vers 2.

et on etudie Sn-2

calcule S1-2 puis S2-2, S3-2 etc... tu devrai observer quelque chose de tres interessant qui devrai te donner la solution a tous probleme...


tu a bessoin de plus de detail, ou tu trouve tous seul a partir de la ?

Pas de multi-post juste4justice STP .
Merci.

alors :
on commence par observer ceci :
a1= 1, a2=2,a3=3, a4=7 a5=43 etc...

2-S1 = 2 - 1 =1
2-S2 = 2-S1 - 1/a2 = 1-1/2 = 1/2
2-S3 = 2-S2-1/a3 = 1/2-1/3 = 1/6
2-S4 = 2-S3 - 1/a4 = 1/6 - 1/7 = 1/42 !!
2-S5 = 2-S4 - 1/a5 = 1/42 - 1/43 = 1/ 42 *43 (or 42*43+1 = a6)

suite a ces observations on fais une autres conjecture :
2-Sn = 1 / (a(n+1) - 1)
qu'on va demontrez par recurence.
l'initialisation a deja ete faites (jusquau rang 5 meme...)

on suppose qu'il existe un rang P pour lequelle
2-Sp = 1/(a(p+1) - 1)        (1)

or 2-S(p+1) = 2-Sp - 1/a(p+1)
donc :
(1) <=> 2-S(p+1) = 1/(a(p+1)-1) - 1/(a(p+1)
2-S(p+1) = (a(p+1) - 1 - a(p+1)) / ( (a(p+1)-1) * (a(p+1) ) )  (mise au meme denominateur, 1/A - 1/B = (A-B)/AB)

ce qui donne 1 au numerateur donc :
2-S(p+1) = 1/ ( (a(p+1)-1) * (a(p+1) ) )

une petit pose pour regarder A(p+1)... on rapelle que a(P+1 ) = a1*a2*a3*a4*a5...ap +1
donc
a(P+1) - 1 = a1*a2*a3*a4... ap
donc (a(P+1) - 1) * a(P+1) = a1*a2... ap *a(p+1) = a(P+2) - 1

donc le denominateur de notre fonction vaut a(P+2) -1
donc :
2-S(p+1) = 1 / ( p(+2) -1 )

la propriter est donc bien hereditaire et donc pour tous n superieur a 1 :

2-Sn = 1/(A(n+1) -1)

or lim(An) = +oo                 (on pour montrer que An > n pour justifier cela )

donc lim (A(n+1) -1) = +oo
lim (2-Sn) = lim ( 1/(A(n+1) -1)) = 0

donc lim(Sn)= 2                j'ai une petit hesitaiton la il faudrait peut-etre d'abbord prouver que la limite existe, ce qui pourra ce faire assez facilement en majorant la suite Sn par une autre suite du meme type donc on connait la limite (style la sommes des 1/n! ou 1/2^n ou 1/n² ) mais je ne suis pas sur que cela soit necessaire, quelqu'un confirme ?

merci , c ca la bonne solution

enfais on peut aussi simplifier en remarquant que :

Un+1 = Un²-Un+1