Bonjour

En posant :


On est amené à chercher la limite :


Or , pour tout x de ]1;+oo[ :

Soit par l'inégalité des accroissements finis :

c'est à dire :

soit :


les deux fonctions qui encadrent convergent vers 0 donc par le théorème des gendarmes , il en est de même de .


Jord

Si tu sais que
alors tu peux en déduire le résultat :
    

Comme
    
alors
    

Pardon , il fallait lire , il en est de même de xln(x)


Jord

ok merci bcp !

salut p_smith :

tu peux ausi dire en posant t = 1/x     qd       



d'après ce que ta dis Jord ...

@+ sur l'
lyonnais

oups, j'avais pas vu la réponse de N_comme_Nul  

escusez moi, je répète pratiquement la même chose ...

@+

Pour montrer que la limite de ln(x)/x est 0 lorsque x tend vers +, il y a une autre méthode :
On définit la fonction h sur [1 ; + [ par h : xln(x)-x.
Alors h'(x)0 sur [1 ; + [, ce qui montre que h(x) h(1) , x[1 ; + [. Avec h(1)=-1.
Donc pour x1, on a 0 ln(x)x-1.
Maizalors, toujours pour x1, 0 ln(x)x-1, puisque [x1x1].
Or, ln(x)=ln(x)/2.
D'où :0 ln(x)/2x-1.
D'où finalement : 0 ln(x)2x-2, x[1 ; + [.
Puis, en divisant par x (qui est 0), 0 ln(x)/x 2(x)/x-2/x.
Puis 0 ln(x)/x 2/x-2/x.
Or lim_x2/x-2/x =0, ce qui prouve que lim_xln(x)/x=0.(CQFD)