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Niveau première
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Limite

Posté par
Mathes1
07-02-20 à 21:05

Bonsoir à tous :
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance
Calculer les limites suivant :
1)lim_{x\to 3 } \dfrac{\sqrt x - \sqrt3}{\sqrt{x+6 } -3}
2)lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{\sqrt{x^2 -x}}{x-1}
3)lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{x\sqrt x -1 }{\sqrt{x-1}}
4)lim_{x\to 1 } \dfrac{x\sqrt{1-x}}{1-\sqrt x ^3}
5)lim_{x\to 2 \atop x>2} (x-2)\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}
6)lim_{x\to +\infty} \dfrac{x -\sqrt{x+1}}{x^2 + \sqrt x}
Remarque: je peux calculer ses limite sans utiliser la dérivation [règle de l'hôpital]
Je peux Une petite indication et merci beaucoup d'avance !

Posté par
Samsco
re : Limite 07-02-20 à 23:07

Qu'est ce que tu résolu pour le moment dans l'exercic

Posté par
carpediem
re : Limite 08-02-20 à 09:14

salut

sauf pour la dernière on peut y voir des taux de variation ...

ex avec la première :

\dfrac {\sqrt x - \sqrt 3} {\sqrt {x + 6} - 3 } = \dfrac {\sqrt x - \sqrt 3} {x - 3} \times \dfrac {x - 3} {\sqrt {x + 6} - \sqrt {3 + 6}}

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 11:30

Bonjour à tous :
Merci beaucoup pour cette méthode :
alors après le développement j'ai obtenue :\dfrac{\sqrt x * x -3\sqrt x -\sqrt3 *x +3\sqrt 3 }{x\sqrt{x+6}-3x -3\sqrt{x+6}+9}

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 11:38

Je ne connais pas bien cette méthode ,vu que carpediem n'est pas là. Je te propose une autre méthode :
Fais l'expression conjuguée au numérateur et au dénominateur

Posté par
carpediem
re : Limite 08-02-20 à 11:48

as-tu lu ce que j'ai écrit ?

carpediem @ 08-02-2020 à 09:14

salut

sauf pour la dernière on peut y voir des taux de variation ...

ex avec la première :

\dfrac {\sqrt x - \sqrt 3} {\sqrt {x + 6} - 3 } = \dfrac {\sqrt x - \sqrt 3} {x - 3} \times \dfrac {x - 3} {\sqrt {x + 6} - \sqrt {3 + 6}}
donc réviser son cours ...

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 11:58

Oui j'ai trouvé merci beaucoup Samsco
\dfrac{(\sqrt x -\sqrt3 )(\sqrt x +\sqrt 3 ) (\sqrt{x+6 }+3)}{(\sqrt{x+6 }-3 )(\sqrt{x+6 }+3 )(\sqrt x +\sqrt3 ) }
= \dfrac{(x-3)(\sqrt{x+6 }+3 )}{(x-3)(\sqrt x +\sqrt 3 )}
Simplifiez ( x-3);
\dfrac{\sqrt{x+6 }+3 }{\sqrt x + \sqrt 3 }
Après la substitution par 3 ;
J'ai trouvé \sqrt 3

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 12:01

Oui c'est exact ,utilise cette méthode lorsque tu as des somme avec des racines au numérateur et au dénominateur

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 12:03

Et qu'est-ce que je peux faire pour la 2ème [une petite indication et merci beaucoup]

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 12:10

C'est pareil avec ce que carpediem a dit :
Tu as:
√x -√3 / x -3 = √x -√3 / (√x)²-(√3)²= 1/ √x +√3

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 12:11

Ensuite ,tu fais l'expression conjuguée de x-3/√(x+6) -3

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 12:12

Et enfin tu fais le produit des deux

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 13:19

Bonjour :
Non ce n'est pas ça mais ça :
2)lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{\sqrt{x^2 -x}}{x-1}
Merci beaucoup , je peux une petite indication .

Posté par
carpediem
re : Limite 08-02-20 à 13:22

soit reconnaitre un taux de variation soit apprendre et savoir que :

x^2 - x = x(x - 1)
la racine carrée d'un produit est le produit des racines carrées
tout nombre positif est le carré de sa racine carrée

..

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 13:45

Bonjour :
J'ai fait le conjugué de numérateur et dénominateur ;
J'ai obtenu :
\dfrac{\sqrt{x^2 -x} \sqrt{x^2 +x} (x+1)}{(x-1)(x+1)\sqrt{x^2 +x} }
\dfrac{x\sqrt{x^2 -1}(x+1) }{(x^2 -1)(\sqrt{x^2 +x)} }
\dfrac{x\sqrt{x-1}\sqrt{x+1} (x+1) }{(x-1)(x+1)\sqrt x \sqrt{x-1} }
\dfrac{x\sqrt{x+1} }{(x-1)\sqrt x}

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 15:29

Alors lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{x}{\sqrt x (x-1)}\sqrt{x+1} |lim{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{x }{\sqrt x (x-1)}= \dfrac{x}{\sqrt x }* \dfrac{1}{x-1}=+l'infini |im_{x\to 1 \atop x>1} \sqrt{x+1}=\sqrt 2
Alors :lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{x\sqrt{x+1}}{(x-1)\sqrt x }=+\infty
D'où : lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{\sqrt{x^2 -x }}{x-1}=+\infty

Posté par
carpediem
re : Limite 08-02-20 à 15:42

\dfrac {\sqrt {x^2 - x}} {x - 1} = \dfrac {\sqrt x} {\sqrt {x - 1}}

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 15:49

Bonjour :
Merci beaucoup de m'avoir répondu :
Est ce que j'ai fait des fautes ?

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 16:48

Si c'est correct : je veux une petite indication s'il vous plaît pour la 3ème j'ai factoriser et développer et j'ai fait le conjugué mais en vain
3)lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{x\sqrt x -1 }{\sqrt{x-1}}.

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 17:23

salut, fais apparaître x-1 en bas

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 17:28

Bonsoir , d'accord
\dfrac{(x\sqrt x -1)(\sqrt{x-1)}}{\sqrt{x-1}\sqrt{x-1}}

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 17:32

oui donc x-1 en bas
Que faire ensuite ? Que peut-on dire de (x*sqrt(x)-1)/(x-1) ?

Posté par
littleguy
re : Limite 08-02-20 à 17:46

Bonjour,

Juste un détail qui me gêne :

Citation :
x^2 - x = x(x - 1)
la racine carrée d'un produit est le produit des racines carrées

En l'occurrence pour x strictement négatif la racine du premier membre existe,  mais pour le second ça pose problème.

Je sais bien qu'ici on s'intéressait au voisinage de 1, c'était juste un détail.  

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 17:54

oui ici il convient de commencer par:
pour tout x appartenant à ]1;inf[ etc

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 17:55

alb12 @ 08-02-2020 à 17:32

oui donc x-1 en bas
Que faire ensuite ? Que peut-on dire de (x*sqrt(x)-1)/(x-1) ?

Qu'est ce que ça vous dire ?
\lim_{x\to 1 \atop x>1} \dfrac{x\sqrt x -1}{x-1}=\dfrac{3}{2}

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 17:58

exact mais il n'est pas utile de chercher la limite de ce rapport. En effet:
ce rapport a une limite finie car la fonction x->x*sqrt(x) est derivable en 1.
On termine aisement.

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 18:04

Bonsoir : s'il vous plaît ne parlé pas de dérivabilité parce que j'ai pas encore lire ce cours .
J'ai déduit que cette limite est nulle =0

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 18:10

La suivante :
4)lim_{x\to 1 } \dfrac{x\sqrt{1-x}}{1-\sqrt x ^3}
Une petite indication s'il vous plaît merci et merci beaucoup

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 18:42

Mathes1 @ 08-02-2020 à 18:04

Bonsoir : s'il vous plaît ne parlé pas de dérivabilité parce que j'ai pas encore lire ce cours .
J'ai déduit que cette limite est nulle =0 exact

Desole j'ignorais la regle du jeu

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 18:45

C'est pas grave ,c'est moi qu'il faut  dire désolée !
Une petite indication s'il vous plaît pour la 4ème Merci et merci beaucoup.

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 18:59

Mathes 1 PK tu as remplacer
\sqrt{x²-x}\sqrt{x²+x} par x\sqrt{x²-1} dans ton message de 13h 45

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 19:07

Bonsoir :
Quelle est la relation entre ça:

Mathes1 @ 08-02-2020 à 18:10

La suivante :
4)lim_{x\to 1 } \dfrac{x\sqrt{1-x}}{1-\sqrt x ^3}
Une petite indication s'il vous plaît merci et merci beaucoup

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 19:21

Il n'y a aucun rapport entre les  deux mais je ne comprend ce que tu as fais ,c'est pour ça que je demande

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 19:29

Samsco @ 08-02-2020 à 18:59

Mathes 1 PK tu as remplacer
\sqrt{x²-x}\sqrt{x²+x} par x\sqrt{x²-1} dans ton message de 13h 45

Oui c'est vrai.
Est ce que vous avez une idée pour la 4ème , Merci beaucoup !

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 19:38

Je crois que tu multiplie par 1-\sqrt{x} au numérateur et au dénominateur

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 19:47

pour la 3/ tu peux multiplier en haut et en bas par x*sqrt(x)+1

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 19:50

idem pour la 4/ car en bas on a 1-sqrt(x)^3=1-x*sqrt(x) sur ]1;inf[

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 19:51

Désolée mais la 3ème j'ai fait déja .
Je veux la 4ème maintenant une petite indication s'il vous plaît merci et merci beaucoup.

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 20:00

alb12 @ 08-02-2020 à 19:50

idem pour la 4/ car en bas on a 1-sqrt(x)^3=1-x*sqrt(x) sur ]1;inf[

Qu'est ce que ça vous dire ?
\dfrac{x \sqrt{1-x}(1+x\sqrt x )}{(1-x\sqrt x )(1+x\sqrt x )}

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 20:00

regarde 19h50

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 20:06

Ce qui donne :
\frac{x\sqrt{1-x}(1+x\sqrt{x}{1-x³}

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 20:22

\frac{x\sqrt{1-x}(1+x\sqrt{x}}{1-x³}

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 20:30

oui factoriser en bas par 1-x puis simplifier par sqrt(1-x)

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 20:32

Es tu certain de ne pas avoir fait le chapitre derivation ?

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 20:36

\frac{x\sqrt{1-x}(1+x\sqrt{x})}{(1-x)(x+\sqrt{x}+1)}

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 20:39

D'accord on bas on a :
(1-x\sqrt x)(1+x\sqrt x ) =(1-\sqrt x)(1+\sqrt x + x )(1+\sqrt x ) ( 1-\sqrt x +x )= (1-x)(1+\sqrt x + x )(1-\sqrt x +x )

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 20:39

la factorisation de 1-x^3 est fausse

Posté par
Mathes1
re : Limite 08-02-20 à 20:40

alb12 @ 08-02-2020 à 20:32

Es tu certain de ne pas avoir fait le chapitre derivation ?

Non pas encore. Il es un peu près.

Posté par
alb12
re : Limite 08-02-20 à 20:42

ok

Posté par
Samsco
re : Limite 08-02-20 à 20:43

À la la place de \sqrt{x} au dénominateur ,on met \red{x}

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