Bonjour ,

trouvé sur internet :   http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#fibonacci

"On peut démontrer que la suite des quotients  a pour limite le nombre d'or lorsque n tend vers l'infini
En effet, la suite de Fibonacci définie par    F1 = 1 ; F2 = 1 et Fn = Fn - 1 + Fn - 2 pour n > 2,    est une suite récurrente linéaire d'ordre 2. Si on pose Fn = a * qn , avec q>0 et a non-nul, et que l'on reporte dans l'égalité Fn = Fn - 1 + Fn - 2 , on obtient a*qn = a*qn-1 + a*qn-2 soit q2 = q + 1 en simplifiant par a*qn-2
et q est la solution positive de l'équation  x2 - x -1 = 0  , c'est-à dire le nombre d'or "

Cordialement

bonjour

méthode 1 : avec l'expression de F_n

on pose a=(1+5)/2 et b=(1-5)/2 pour simplifier les écritures

u_n = F_n+1/F_n = (aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹)/(aⁿ-bⁿ)

divise en haut et en bas par aⁿ et remarque que (b/a)ⁿ0

bonjour

on va appeler p=(1+V5)/2 le nombre d'or

p est solution de x²-x-1=0 donc p²=p+1 et pp'=-1 donc p'=-1/p=-2/(1+V5)=-2(1-V5)/(1-5)=(1-V5)/2

donc
F(n)=(1/V5)(p^n-(-1/p)^n)
F(n+1)=(1/V5)(p^(n+1)-(-1/p)^(n+1))
      =p(1/V5)(p^n+(-1/p)^(n+2))

F(n+1)/Fn=p[p^n+(-1/p)^(n+2)]/[p^n-(-1/p)^n]
         =p[1+(-1)^(2n+2)/p^(2n+2)]/[1+(-1)^(n+1)/p^2n]
         =p[1+1/p^(2n+2)]/[1+(-1)^(n+1)/p^2n]

lim(1/p^(2n+2))=0 car p>1
et
lim(1/p^2n)=0

donc
limF(n+1)/F(n)=limp[1+1/p^(2n+2)]/[1+(-1)^(n+1)/p^2n]
              =p*lim[1+1/p^(2n+2)]/[1+(-1)^(n+1)/p^2n]
              =p

méthode 2 : plus élégante

divise la relation
par F_n+1

tu obtiens

avec la fonction f(x)=1-1/x tu démontres que cette suite (avec u0=1) a une limite ... et que cette limite est le point fixe (solution de f(x)=x)... et tu trouves le nombre d'or

Merci beaucoup !
Vous m'avez débloquée pour le reste de l'exercice .

Bonjour,

Je n'ai pas de problème avec le fait de trouver que le nombre d'or est la limite de cette suite, mais je n'arrive pas à prouver qu'elle admet une limite ! Comment démontrez-vous que cette suite converge ?

Merci d'avance !