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limite d'une fonction avec ln
Bonsoir!
On considère la fonction f(x)=(ln(x))²/x
Quelle est sa limite quand x tend vers +infini ?
et quand x tend vers 0 la limite est 0 c'est ça ?
Merci!
Quand x tend vers 0:
lim lnx = - infini
lim (lnx)² = +infini
lim x = O+ ( f étant défini sur ]0;+infini[ )
oups! en fait c'est égal à +infini...
ver + infini on fait comment?
Tu peux faire un changement de variable u=1/x en l'infini, ce qui ramène la limite à étudier la limite en 0 de
ln(1/u)^2/(1/u) ce qui se simplifie bien.
Quand u tend vers 0:
lim (ln(1/u))² = +infini
lim 1/u = +infini
Après ça donne un forme indeterminée?
Une forme indéterminée n'est pas une limite...
Il faut donc travailler un peu après ça. 1/(1/u) = ?
ln(1/u) = ?
1/(1/u) = u
ln(1/u) = -lnu
heu: ln(1/u)^2/(1/u)= (ln(1/u))^2 * 1/(-ln(u))
Après lim (ln(1/u))^2 =+infini
et: lim 1/(-ln(u))= 0 ...
Tu dois tomber sur u.ln(u)^2 non ?
Que tu peux transformer en u^3 . [ln(u)/u]^2 car maintenant la limite est évidente ou presque.
En fait, c'est une forme que l'on donne souvent sans démonstration à ton niveau.
ln(x)^p/x tend vers 0 en +oo.
Ce qui revient à dire que x.ln(x)^p tend vers 0 en 0.
Tu as surement tu voir l'une de ces deux formes. Sinon on peut quand même le démontrer. Mais tu as du voir ça sous le nom de croissance comparée.
Ok, tu peux te ramener à x.ln(x) ici. On l'a presque fait. Il suffit de poser par exemple U = racine de V.
OK donc ça tend vers 0, mais comment tu as eu cette idée?
et... comment prouver la limite de x.ln(x)^p quand x tend vers 0 ?
J'ai eu cette idée parce qu'il faut toujours se ramener à une forme que l'on connait et que normalement on connait toujours soit celle de départ que tu proposais ou alors celle ci. Comme tu ne semblais pas connaitre celle de départ, je me suis ramené à celle ci.
D'une façon générale,
xln(x)^p = (x^(1/p)ln(x)) ^ p
En posant y = x^(1/p) on trouve alors (y ln (y^p)) ^p = p (y ln(y))^p
et tu sais que ce qu'il y a dans la paranthèse tend vers 0 puisque y tend vers 0 quand x tend vers 0.
Ici p=2.
Attention (y ln(y^p))^p=(ypln(y))^p=p^p(ylny)^p
Cela ne change rien au résultat, mais le p est à la puissance p
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