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Limite d'une fonction (ln)

Posté par
SalmaEl30
04-01-17 à 20:35

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour une question où je bloque depuis tout à l'heure. Voici les données:

soit h une fonction définie sur ]1,+\infty [ par :

h(x)=ln(\frac{x+1}{x-1})-\frac{1}{x}

h(x) est croissante sur  ]1,+\infty [ et strictement positive

et f une fonction définie sur [1,+\infty [ par :

f(x)=(x^{2}-1)\times ln(\frac{x+1}{x-1}) pour chaque x>1 et f(1)=0

f'(x)=2xh(x) pour chaque x>1

on demande de démontrer que la limite de f(x) en plus l'infini c'est + infini et la limite de f'(x) en plus l'infini est 2

Merci pour votre aide!

Posté par
lake
re : Limite d'une fonction (ln) 04-01-17 à 23:26

Bonsoir,

D' après l' étude de h:

Pour tout x>1, \ln\,\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)>\dfrac {1}{x}

Donc f(x)>\dfrac{x^2-1}{x}

f(x)>x-\dfrac{1}{x}

Et on utilise les théorèmes de comparaison.

Posté par
lake
re : Limite d'une fonction (ln) 04-01-17 à 23:28

Au fait, h est décroissante sur ]1;+\infty[ (et pas croissante)

Posté par
lake
re : Limite d'une fonction (ln) 05-01-17 à 00:20

xh(x)=x\,\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)-1=\dfrac{2x}{x-1}\,\dfrac{\ln\,\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}{\frac{2}{x-1}}-1

Et \lim\limits_{x\to+\infty}xh(x)=2-1=1

Du coup, \lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=2



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