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Limite d'une fonction logarithme

Posté par
Mathes1
21-01-21 à 20:43

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
calculer les limites suivantes;
1/
\lim_{x \to 3} \dfrac{2x}{x-3}ln(\dfrac{x}{3})
2/\lim_{x \to +\infty } x× ln\left( \dfrac{x-1}{x+1}\right)
3/ \lim_{x \to 0-} x ln (x²-3x)
Merci beaucoup d'avance
Je ne trouve pas comment résoudre ces limites
Et je ne sais pas est ce que je dois faire un changement de variable
Pour la 1/ limite , j'ai essayé de poser X=x-3 ou X =x/3 et je ne trouve pas la limite.
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction logarithme 21-01-21 à 20:51

salut

\dfrac {2x} {x - 3} \ln \dfrac x 3 = 2x \dfrac {\ln \dfrac x 3 - \ln \dfrac 3 3 } {x - 3}

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction logarithme 21-01-21 à 20:55

3/ si x < 0 alors \ln (x^2 - 3x) = \ln (-x) + \ln (3 - x)

Posté par
Mathes1
re : Limite d'une fonction logarithme 25-01-21 à 08:34

Bonjour
Merci beaucoup de m'avoir répondu
\lim_{x \to 3 } \dfrac {2x} {x - 3} \ln \dfrac x 3 =\lim_{x \to 3} 2x \dfrac {\ln \dfrac x 3 - \ln \dfrac 3 3 } {x - 3}=6*\dfrac{1}{3}=2
Car :
\lim_{x \to 3 }\dfrac {\ln \dfrac x 3 - \ln \dfrac 3 3 } {x - 3}=\lim_{x \to 3 } ln'(\dfrac{x}{3})=\lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{x}{3}}=\dfrac{1}{3}*\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction logarithme 26-01-21 à 09:00

Bonsoir,
Je me permets de répondre en l'absence de carpediem.

Ton résultat est exact ; mais certaines écritures ne conviennent pas
Et ce n'est pas une limite de dérivée qui intervient, mais un nombre dérivé.
Attention à l'utilisation du prim \;\; pour dériver :
ln' \; désigne la fonction dérivée de la fonction \; ln .
ln'(x) = 1/x \; ; donc \; ln'(x/3) = 3/x .
Pour ce que tu veux faire, utiliser l'écriture ln' ne convient donc pas.


Au 1), il s'agit de la limite en 3 de f(x) avec \; f(x) = \dfrac{2x}{x-3}\times ln(\dfrac{x}{3}) .

Transformation de f(x) pour x 3 et x > 0 : \; f(x) = 2x \times \dfrac{ln\frac{x}{3}-ln\frac{3}{3}}{x-3}
En posant \; g(x) = ln(\dfrac{x}{3}) \; ; la fonction g est dérivable sur ]0;+[, avec \; g'(x) =\dfrac{1}{x} .

f(x) = 2x\dfrac{g(x)-g(3)}{x-3} \; et \; \lim_{x\rightarrow 3}\dfrac{g(x)-g(3)}{x-3} = g'(3) =  \dfrac{1}{3} .

D'où la limite demandée : 2\times 3 \times \dfrac{1}{3} = 2 .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction logarithme 26-01-21 à 09:08

Mais il est plus simple d'utiliser \; ln\dfrac{x}{3} = ln x - ln 3 \; pour transformer \; f(x) \; :

f(x) = 2x \times \dfrac{ln x-ln 3}{x-3}
Puis utiliser le nombre dérivé de la fonction \; ln \; en 3.

Posté par
Mathes1
re : Limite d'une fonction logarithme 30-01-21 à 12:54

Bonjour
D'accord je vous remercie énormément !
Pour la 2 ème limite
2/\lim_{x \to +\infty } x× ln\left( \dfrac{x-1}{x+1}\right)
Encore ici on a la forme indéterminée " + *0"
Je ne sais pas franchement comment faire pour enlever la forme indéterminée  
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
Est ce que je dois utiliser un changement de variable
Merci beaucoup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction logarithme 30-01-21 à 14:07

Bonjour,
Quelles limites de forme indéterminée avec ln connais-tu ?

Posté par
Mathes1
re : Limite d'une fonction logarithme 31-01-21 à 13:31

Bonjour
C'est à dire les limites usuelles ?
\lim_{x \to +\infty } \dfrac{ln(x)}{x}=0 ; \lim_{x \to +\infty } ln(x)=+\infty ; \lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{ln(x)}=+\infty

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction logarithme 31-01-21 à 13:49

Celle du milieu n'est pas une forme indéterminée.
La troisième est une conséquence de la première.

Il y en a une avec x qui tend vers 0 pour xln(x)
Il y en a encore une autre, conséquence du nombre dérivé de ln en 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction logarithme 31-01-21 à 13:53


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