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Limite d'une fonction numérique

Posté par
Nijiro 14-02-20 à 18:46

Bonjour,
Soit et deux nombres réels tels que:
\lim_{x\rightarrow +\bowtie } (\sqrt {x^2-3x+1}-\alpha x-\beta )=0
Déterminer et .
Merci d'avance.

Posté par
malou Webmasterre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 18:57

Bonsoir
calculer f(x)/x puis sa limite en + , cela va te donner
puis f(x)-x dont tu chercheras la limite et cela te donnera

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 18:57

Bonjour,
Qu'as tu essayé ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 18:58

Bonsoir malou

Posté par
malou Webmasterre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 18:58

bonsoir Sylvieg j'ai été plus bavarde que toi ....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 18:58

Il n'y a pas de f(x) dans le message de Nijiro

Posté par
malou Webmasterre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 18:59

ah ben voilà...quand on essaie de faire de maths

Posté par
carpediemre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 19:22

salut

deux méthodes :

1/ quantité conjuguée

2/ forme canonique du radicande ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 20:36

Bonsoir carpediem,
Il y a 36 méthodes possibles.
Personnellement, je commencerait par démontrer = 1.
En pseudo factoriser par le terme de plus haut degré :
Pour x>0
\sqrt {x^2-3x+1}-\alpha x-\beta = x (\sqrt {1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}} - \alpha - \dfrac{\beta }{x})

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une fonction numérique 14-02-20 à 20:37

En pseudo factorisant

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 17:29

Excusez-moi pour le retard

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 17:34

Comment la factorisation va-t-elle me servir pour montrer que =1?

Posté par
matheuxmatoure : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 17:38

ah ben lis les hypothèses et regarde ce que ça donnerait si alpha ne valait pas 1 ...

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:04

@Nijiro
comment demontres-tu que la courbe d'une fonction f admet une asymptote oblique ?

Posté par
matheuxmatoure : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:11

alb12
ça se fait toujours les recherches d'asymptote oblique ?

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:16

Si =1 ou =-1 alors on utilisera le conjugué

Posté par
matheuxmatoure : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:17

?

écrit un peu tes démarches ....

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:22

matheuxmatou @ 15-02-2020 à 18:11

alb12
ça se fait toujours les recherches d'asymptote oblique ?

oui en terminale c'est possible en approfondissement
ici Nijiro est au maroc en premiere donc elle doit connaître
@Nijiro A toi de nous le dire

Posté par
matheuxmatoure : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:26

ah d'accord...

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:33

J'aisupposé que =1, puis j'ai utilisé le conjugué. Après qq simplifications, j'ai eu l 'expressio  suivante:
\lim_{x\rightarrow +\bowtie }=\frac{-3+\frac{1}{x}-2\beta -\frac{\beta^2} {x}}{\sqrt {1-\frac {3} {x}+\frac {1}{x^2}}+\frac {1}{x}+\frac {\beta }{x}}
Et j'ai déduit que pour que la limite soit égale à 0, il faut que =-3/2 puisque la limite du dénominateur est 1 donc reste a cherche la valeur de pour laquelle le numérateur soit nul et qui est d'ailleurs -3/2.

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:40

On n'a pas encore étudier le comportement asymptotique. Bon, on a déjà vu qq asymptotes mais uniquement celles  horizontales et verticales non pas les obliques , ça sera dans un prochain chapitre peut-être.

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:41

@Nijiro Peux tu repondre à ma question de 18h22

Posté par
matheuxmatoure : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:42

Sylvieg @ 14-02-2020 à 20:36


Pour x>0
\sqrt {x^2-3x+1}-\alpha x-\beta = x (\sqrt {1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}} - \alpha - \dfrac{\beta }{x})


et cette quantité tend vers 0 à l'infini... donc que vaut alpha ?

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 18:47

Nijiro @ 15-02-2020 à 18:40

On n'a pas encore étudier le comportement asymptotique. Bon, on a déjà vu qq asymptotes mais uniquement celles  horizontales et verticales non pas les obliques , ça sera dans un prochain chapitre peut-être.

merci
donc il s'agit probablement d'un exercice preparatoire à la nouvelle leçon
il faut donc proceder comme il a ete dit dans ce fil

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 19:04

une autre idee en passant
as tu vu dans le chapitre derivation un resultat de ce genre:

\\ $pour h voisin de 0, $\sqrt{1+h}\approx 1+\dfrac{h}{2} \\

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 19:12

matheuxmatou =1

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 19:16

alb12 @ 15-02-2020 à 19:04

une autre idee en passant
as tu vu dans le chapitre derivation un resultat de ce genre:

\\ $pour h voisin de 0, $\sqrt{1+h}\approx 1+\dfrac{h}{2} \\

Jusqu'à maintenant, on a vu les opérations sur les fonctions dérivables. Les applications de la dérivation seront le cours de la prochaine séance des maths.
Mais, en tous cas, cet exercice doit être résolu tout en se basant sur le cours des limites..Uniquement les limites

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 19:19

Mais si =1 et en utilisant la même expression (celle factorisée ) puisque x tend vers l'infinie, on aura une forme indéterminée : "+ × 0"

Posté par
carpediemre : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 20:09

carpediem @ 14-02-2020 à 19:22

salut

deux méthodes :

1/ quantité conjuguée

2/ forme canonique du radicande ...
oublions même la notion d'asymptote ... pas vue ou inutile même ... et ne travaillons qu'en terme de limite ...

on travaille en +oo et on utilise pleinement les résultats sur les trinomes ...

1e méthode :

f(x) - (ax + b) = \sqrt {x^2 - 3x + 1} - (ax + b) = \dfrac {x^2 - 3x + 1 - (ax + b)^2} {\sqrt {x^2 - 3x + 1} + ax + b}

le numérateur est un polynome de degré 2 ou 1 ou 0 (une constante) suivant les valeurs de a et b ...

le dénominateur est supérieur à \sqrt {\dfrac 1 4 x^2} + ax + b = \left(a + \dfrac 1 2 \right) x + b au moins à partir d'un certain rang

que a vaille -1/2 (on peut même remarquer en préambule que a > 0 de façon évidente) ou non cette différence ne peut tendre vers 0 uniquement si le numérateur est au plus une constante ...

ce qui permet de déterminer a et b


2e méthode :

f^2(x) = x^2 - 3x + 1 = \left(x - \dfrac 3 2 \right)^2 - \dfrac 5 4 => f(x) = \left( x - \dfrac 3 2 \right) \sqrt {1 - \dfrac 5 {4 \left( x - \dfrac 3 2 \right)^2}

donc f(x) - \left(x - \dfrac 3 2 \right) \underset{x \to + \infty} {\to} 0

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 20:53

bien la seconde methode on a meme la position de la courbe par rapport à l'asymptote

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 21:27

il n'y a rien de bizarre dans la methode 2 ?

Posté par
matheuxmatoure : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 23:02

Nijiro @ 15-02-2020 à 19:19

Mais si =1 et en utilisant la même expression (celle factorisée ) puisque x tend vers l'infinie, on aura une forme indéterminée : "+ × 0"


oui... et si alpha ne vaut pas 1, cela donne un infini !

donc nécessairement, alpha=1

tu peux remplacer, utiliser la partie conjuguée et maintenant du détermine béta pour que ça tende vers 0

Posté par
matheuxmatoure : Limite d'une fonction numérique 15-02-20 à 23:08

Nijiro @ 15-02-2020 à 18:33

près qq simplifications, j'ai eu l 'expressio  suivante:
\dfrac{-3+\dfrac{1}{x}-2\beta -\dfrac{\beta^2} {x}}{\sqrt {1-\dfrac {3} {x}+\dfrac {1}{x^2}}+\dfrac {1}{x}+\dfrac {\beta }{x}}


c'est faux ! on obtient :

\dfrac{-3+\dfrac{1}{x}-2\beta -\dfrac{\beta^2} {x}}{\sqrt {1-\dfrac {3} {x}+\dfrac {1}{x^2}}+1+\dfrac {\beta }{x}}

le dénominateur tend vers 2 à l'infini

donc le tout tend vers ...-3/2 -

et donc effectivement =-3/2

Posté par
carpediemre : Limite d'une fonction numérique 16-02-20 à 09:40

alb12 @ 15-02-2020 à 21:27

il n'y a rien de bizarre dans la methode 2 ?
je ne vois pas ...

quel est le pb ?

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 16-02-20 à 11:41

Merci beacoup tout le monde! Je comprends maintenant, je trouve que la deuxième méthode de carpediem est bien claire ansi que celle de matheuxmatou Merci beaucoup

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 16-02-20 à 11:53

carpediem @ 16-02-2020 à 09:40

alb12 @ 15-02-2020 à 21:27

il n'y a rien de bizarre dans la methode 2 ?
je ne vois pas ...
quel est le pb ?

comment justifies-tu le passage à la difference f(x)-(x-3/2) ?

Posté par
carpediemre : Limite d'une fonction numérique 16-02-20 à 12:27



je factorise par x - 3/2

mais tu as raison : je sais que la limite doit faire 0 ...

on doit cependant le montrer (par exemple avec ce que tu proposes : r(1 + h) = 1 + h/2 + o(h) : approximation affine)

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 16-02-20 à 14:13

malou @ 14-02-2020 à 18:57

Bonsoir
calculer f(x)/x puis sa limite en + , cela va te donner
puis f(x)-x dont tu chercheras la limite et cela te donnera

j'aurais opte pour cette demo qui ne demande pas d'avoir vu le cours sur les asymptotes obliques

Posté par
carpediemre : Limite d'une fonction numérique 16-02-20 à 14:21

carpediem @ 15-02-2020 à 20:09

carpediem @ 14-02-2020 à 19:22

salut

deux méthodes :

1/ quantité conjuguée

2/ forme canonique du radicande ...
oublions même la notion d'asymptote ... pas vue ou inutile même ... et ne travaillons qu'en terme de limite ...

Posté par
Samscore : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 11:21

malou @ 14-02-2020 à 18:57

Bonsoir
calculer f(x)/x puis sa limite en + , cela va te donner
puis f(x)-x dont tu chercheras la limite et cela te donnera

Bonjour ,j'ai fait ça👆 et j'ai trouvé :

\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=\dfrac{x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}}{x}=\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}

Donc \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=1
Donc \alpha=1

Et \sqrt{x²-3x+1}-x=\dfrac{3x+1}{\sqrt{x²-3x+1}+x}=\dfrac{x(3+\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²})+1}}

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)-\alpha x=\dfrac{3}{2}

Posté par
malou Webmasterre : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 11:40

je crois que tu as perdu le - devant 3x
et ta racine va trop loin en bas dans la dernière fraction, le 1 devrait être dehors
sinon, c'est effectivement la méthode que je préconisais

Posté par
Samscore : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 11:53

Ça donne :

\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=\dfrac{x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}}{x}=\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}

Donc \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=1
Donc \alpha=1

Et \sqrt{x²-3x+1}-x=\dfrac{-3x+1}{\sqrt{x²-3x+1}+x}=\dfrac{x(-3+\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}+1})}

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)-\alpha x=-\dfrac{3}{2}

Posté par
Samscore : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 11:59

Samsco @ 01-03-2020 à 11:53

Ça donne :

\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=\dfrac{x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}}{x}=\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}

Donc \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=1
Donc \alpha=1

Et \sqrt{x²-3x+1}-x=\dfrac{-3x+1}{\sqrt{x²-3x+1}+x}=\dfrac{x(-3+\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}+\blue{1})}

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)-\alpha x=-\dfrac{3}{2}

Posté par
malou Webmasterre : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 12:01

cela me semble Ok

Posté par
Samscore : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 12:03

On peut  faire cette méthode avec toutes les fonctions possible?

Posté par
malou Webmasterre : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 12:04

à chaque fois que tu as une branche infinie, oui

Posté par
Samscore : Limite d'une fonction numérique 01-03-20 à 12:05

D'accord ,merci !

Posté par
Nijirore : Limite d'une fonction numérique 04-04-20 à 14:54

alb12 @ 15-02-2020 à 18:22

matheuxmatou @ 15-02-2020 à 18:11

alb12
ça se fait toujours les recherches d'asymptote oblique ?

oui en terminale c'est possible en approfondissement
ici Nijiro est au maroc en premiere donc elle doit connaître
@Nijiro A toi de nous le dire


Maintenant on a étudié les asymptotes et tout ce qui concerne l'étude d'une fonction, je trouve que votre méthode est également utile! Merci beaucoup alb12.

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction numérique 04-04-20 à 15:00

ok

Posté par
carpediemre : Limite d'une fonction numérique 04-04-20 à 19:25

alb12 @ 16-02-2020 à 11:53

carpediem @ 16-02-2020 à 09:40

alb12 @ 15-02-2020 à 21:27

il n'y a rien de bizarre dans la methode 2 ?
je ne vois pas ...
quel est le pb ?

comment justifies-tu le passage à la difference f(x)-(x-3/2) ?


f(x) - (x - 3/2) = (x - 32) [1 - \sqrt {1 - h(x)}] et avec la forme canonique on montre que la forme que la limite est 0 ...

Samsco @ 01-03-2020 à 11:59

\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=\dfrac{x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}}{x}=\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}

Donc or \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x²-3x+1}}{x}=1
Donc \alpha=1

Et \sqrt{x²-3x+1}-x=\dfrac{-3x+1}{\sqrt{x²-3x+1}+x}=\dfrac{x(-3+\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x²}}+\blue{1})}

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)-\alpha x=-\dfrac{3}{2}

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