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Limite d'une fonction trigonométrique.

Posté par
Othnielnzue23 04-02-20 à 21:02

Bonsoir à tous , veuillez m'aider à faire cet exercice s'il vous plaît .

Soit la fonction définie sur lR* par f(x)=\dfrac{x}{2-sin(\dfrac{1}{x})}

1) Démontrer que :

a- x ≥0 ,

\dfrac{x}{3} ≤ f(x) ≤x.

b- <0 , x≤ f(x) ≤ \dfrac{x}{3}


2) En déduire les limites de f en -∞ , en +∞ et en 0.

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:05

salut,
sin(1/x) est compris entre ?? et ??

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:07

Bonsoir , entre -1 et 1

Posté par
Samscore : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:10

Salut ,grâce à ça tu peux encadrer f(x)

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:10

donc c'est presque termine !

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:13

Oui je vois mais comment ?

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:14

encadre 2-sin(1/x)

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:21

Ok

1 ≤ 2-sin(\dfrac{1}{x})≤3

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:23

Or deux nombre sont rangés dans l'ordre contraire de leur inverse d'où

\dfrac{x}{3}≤f(x)≤x.

Merci.

b- maintenant ...

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:26

attention tu as multiplie par x son signe intervient donc pour trouver le sens des inegalites

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:31

Ah d'accord donc x≥0 ;
\dfrac{x}{3}≤f(x)≤x.

Et donc

b- x<0 c'est à dire x négatif d'où :

x≤f(x)≤x/3.

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 21:41

oui

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:03

Ok

2) comment faire ici ?

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:07

pour tout x negatif, f(x)<=x/3
Or x/3 tend vers ?? quand x tend vers moins l'infini
Donc ??

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:18

x/3 tend vers -∞  quand x tend vers -∞ , donc avec le théorème des gendarmes : on a x tend aussi vers -∞ d'où \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:21

f(x)<=x/3 est suffisant pour conclure (x est inutile)

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:35

Ah d'accord donc .

Pour x--->+∞

On a \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{3}=+\infty .

Comme f(x)≥ \dfrac{3}{x} alors , \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:37

oui une petite faute à corriger

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:38

Laquelle ??

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:40

cherche c'est evident (lapsus)

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:47

Je ne vois toujours pas . pourriez vous me dire.

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:51

Relire la lettre volee d'Edgar Allan Poe
ce que l'on cherche est souvent sous nos yeux et nous cherchons ailleurs
tu as ecrit 3/x

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:54

Ohh oui merci


Pour x--->+∞

On a \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{3}=+\infty .

Comme f(x)≥ \dfrac{x}{3} alors , \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 22:57

preciser: comme pour tout x>=0, f(x)>=x/3

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 04-02-20 à 23:06

Ah d'accord , \lim_{x\to0}\dfrac{x}{3}=\lim_{x\to0}x×\dfrac{1}{3}=?? forme indéterminée , comment faire là ?

Posté par
alb12re : Limite d'une fonction trigonométrique. 05-02-20 à 08:43

0*(1/3) n'est pas une forme indeterminee

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 05-02-20 à 12:33

Ah oui çà va faire 0 donc limite de F(x) lorsque x--->0 =0 aussi .

Merci beaucoup .

Posté par
Othnielnzue23re : Limite d'une fonction trigonométrique. 05-02-20 à 12:41

Et veuillez m'aider par là s'il vous plaît.

Continuité d'une fonction trigonométrique.


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