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limite d une somme de termes

Posté par audreys (invité) 10-08-05 à 20:08

bonjour,
On considère la suite (Un) ( avec n appartenant à IN) de terme général défini pour tout n appartenant à IN* par la relation:
Un =     1       +      1     + ... +     1    
      V(2n²+1)    V(2n²+2)        V(2n²+n)

(V signifie racine carré)
Montrer que pour tout n appartenant à IN, on a:

     n          =< Un =<       n      
V(2n²+n)                   V(2n²+1)

Je veux démontrer cet encadrement par récurrence.
Mon initialisation marche correctement.
Pour mon hérédité je n'arrive pas à encadrer; j'obtient:
Un+1=       1         +        1       + ... +          1        
      V(2(n+1)²+1)    V(2(n+1)²+2)        V(2(n+1)²+n+1)
il faut donc que j'encadre Un+1 entre:

   n+1  
V((n+1)²+n+1)
et
     n+1      
V((n+1)²+1)

je sais vraiment pas comment je peux encadrer Un+1.
Que dois-je faire?
merci pour vos réponses



Posté par aicko (invité)re : limite d une somme de termes 10-08-05 à 20:24

bonsoir à tous
pas besoin de récurrence
tu remarques que chaque terme est \frac{1}{sqrt{2n^2+1}} et \frac{1}{sqrt{2n^2+n}}

et comme il y en a n
on obtiens :
pour tout n^*
\frac{n}{sqrt{2n^2+n}}U_n\frac{n}{sqrt{2n^2+1}}

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limite d une somme de termes 10-08-05 à 20:25

Bonjour,

U_n =\frac{1}{\sqrt{2n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n^2+n}}

Détermine le plus petit terme de ta somme.Puis le plus grand terme.
Ensuite détermine le nombre de terme de ta somme.
Et après tu peux dire que :
\rm (le nombre de terme de ta somme)\times (le plus petit terme de ta somme)\le U_n\le (le nombre de terme de ta somme)\times (le plus grand terme)

A plus

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limite d une somme de termes 10-08-05 à 20:25

Pris de vitesse

A plus

Posté par aicko (invité)re : limite d une somme de termes 10-08-05 à 20:30

indication : la limite de la suite est \frac{sqrt{2}}{2}

Posté par audreys (invité)re : limite d une somme de termes 10-08-05 à 21:17

merci c'est sûr que c'est plus simple vu comme ça.

Posté par Yalcin (invité)re : limite d une somme de termes 10-08-05 à 21:40

Bonjour

On a (n,k)\in\mathbb{N}^* avec 1\leq k\leq n.

Donc on a 2n^2+1\leq 2n^2+k\leq 2n^2+n, donc \sqrt{2n^2+1}\leq \sqrt{2n^2+k}\leq \sqrt{2n^2+n}.

Donc on a \frac{1}{{\sqrt {2n^2+1}}}\geq \frac{1}{{\sqrt {2n^2+k}}} \geq \frac{1}{{\sqrt {2n^2+n}}}.

Finalement en sommant les termes de k=1 à k=n, on obtient \frac{n}{{\sqrt {2n^2+1}}}\geq U_n \geq \frac{n}{{\sqrt {2n^2+n}}}, voilà c'est tout.

Cordialement Yalcin

Posté par audreys (invité)re : limite d une somme de termes 11-08-05 à 08:48

Clemclem, la formule que tu m'a donnée;
(nombre de terme de la somme)*(du plus petit terme de la somme)=< Un =< (nombre de terme de la somme)*(du plus grand terme de la somme)

Est-ce une formule que l'on connais en terminale S?
j'ai vraiment aucun souvenir de cette formule.
Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite d une somme de termes 11-08-05 à 08:52

Non, ce n'est pas une formule du cours
C'est assez simple :

Pour tout n :
plus petit terme \le v_n \le plus grand terme

Donc :
plus petit terme \le v_1 \le plus grand terme
plus petit terme \le v_2 \le plus grand terme
...
plus petit terme \le v_{n-1} \le plus grand terme
plus petit terme \le v_n \le plus grand terme

En sommant :
n.(plus petit terme) \le v_1+...+v_n \le n.(plus grand terme)

Nicolas

Posté par Frip44 (invité)re : limite d une somme de termes 11-08-05 à 10:39

Intéressant ce théorème, à retenir Merci Clemclem et Nicolas_75

++
(^_^(Fripounet)^_^)

Posté par audreys (invité)re : limite d une somme de termes 11-08-05 à 13:13

merci pour cette explication


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