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Limite d'une suite

Posté par
baridomerre 04-03-16 à 20:50

Salut tous le monde ,
récemment on a eu un control en math et dans le control on a eu un exercice d'arithmétique et un problème alors j'ai réussi a résoudre le probleme entier sauf la derniere question et meme apres le control j'ai echouer a la resoudre
Q * déterminer la limite du suite Vn=(1+1/n)n puis déduire la limite du suite
Un= EXP((n+1)!/n!n -1/k! )
la somme et le produit sont de k=1 a k=n
Merci d'avance

Posté par
baridomerrere : Limite d'une suite 04-03-16 à 20:53

Un=EXP(((n+1)!/(n!n))-(1/k!))
la somme et le produit sont de k=1 a k=n

Posté par
mdr_nonre : Limite d'une suite 04-03-16 à 20:58

bonsoir : )

Tu peux partir de : V(n) = (1 + 1/n)^n = exp(n * ln(1 + 1/n)).

Posté par
mdr_nonre : Limite d'une suite 04-03-16 à 21:00

Ou un peu plus d'aide (pour l'indétermination) : n * ln(1 + 1/n) = ln(1 + 1/n) / (1/n).

Posté par
baridomerrere : Limite d'une suite 04-03-16 à 21:22

Mdr_non merci je pense que la limte Vn =e parce que j'ai deja resolu cette parti de la question le probleme c'est dans la deuxieme partie

Posté par
mdr_nonre : Limite d'une suite 04-03-16 à 21:47

Oui la limite est e.

(n + 1)! = (n + 1)n!
Ce qui permet de simplifier le rapport d'une part.
Ensuite le produit se simplifie également sans problème.

Enfin il reste la somme.
Mais je ne sais pas si tu as appris (ou si on vous a donné comme résultat) \boxed{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} = e}

Posté par
baridomerrere : Limite d'une suite 04-03-16 à 21:53

oui jai oublie on une question qu'on a calculé la valeur de la limite 1/k! = e

Posté par
mdr_nonre : Limite d'une suite 04-03-16 à 21:55

Tu peux conclure maintenant.

Le résultat final est ?

Posté par
baridomerrere : Limite d'une suite 04-03-16 à 21:58

ohh j'ai raté 0.5 point dans l'exam hhhhh c'est lim Exp(n+1-e)=+linfini

Posté par
mdr_nonre : Limite d'une suite 04-03-16 à 22:03

Euhm non attention, c'est quoi ce n + 1 ?

\boxed{\prod_{k=1}^{n} a = a^n, a \in \mathbb{R}} (le produit d'une constante n fois c'est cette constante à la puissance n).

Et aussi, tu as la somme qui part de 1 et non 0 comme dans ce résultat : \boxed{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} = e}.
Donc il faut retrancher un terme dedans.

Allé, essaie à nouveau : )

Posté par
baridomerrere : Limite d'une suite 04-03-16 à 22:09

ah oui la lim (n+1)n -e = + infini alors que e(n+1)n-e = + infini merci infiniment Mdr_non

Posté par
mdr_nonre : Limite d'une suite 04-03-16 à 22:32

(^^) bon tu es parti trop vite à nouveau mais je vais te l'écrire comme tu sembles avoir compris de toute façon.

\large \forall n \geq 1, \\ \\ \frac{(n + 1)!}{n!n} = \frac{(n + 1)n!}{n!n} = {\red \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}}  \Rightarrow \prod_{k=1}^{n}\frac{(n + 1)!}{n!n} = \prod_{k=1}^{n}1 + \frac{1}{n}} = \left(1 + \frac{1}{n}}\right)^n \\ \\ \\ \text{De plus : } \\ \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \\ \\ \text{et } \lim_{n\to\infty} \sum_{{\red k=0}}^n \frac{1}{k!} = e \text{ d'où } \sum_{{\red k=1}}^n \frac{1}{k!} = e - 1 \text{ voir } {}^{(1)} \\ \\ \text{d'où } \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} = e - (e - 1) = 1 \\ \\ \text{Finalement} \boxed{\lim_{n\to\infty} u_n = e} \\ \\ {}^{(1)}  \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} \Rightarrow \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} - 1

Posté par
baridomerrere : Limite d'une suite 04-03-16 à 22:41

Merci mdr_non

Posté par
mdr_nonre : Limite d'une suite 04-03-16 à 22:47

Un oublie de limite avant la note (1)

Citation :
\text{De plus : } \\ \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \\ \\ \text{et } \lim_{n\to\infty} \sum_{{\red k=0}}^n \frac{1}{k!} = e \text{ d'où } {\blue \lim_{n\to\infty}} \sum_{{\red k=1}}^n \frac{1}{k!} = e - 1 \text{ voir } {}^{(1)} \\ \\ \text{d'où } \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} = = e - (e - 1) = 1


Je t'en prie : ) bonne continuation : )


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