Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Limite d'une suite

Posté par
Law02 12-08-17 à 21:52

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour déterminer la limite de la suite suivante:

\forall n\in N^*, u_n= \frac{1}{n²} \sum_{k=1}^{n}{}E(\frac{k}{2})

Merci

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite 13-08-17 à 01:29

salut

k/2 prend les valeurs 0.5, 1, 1.5, ..., n/2

\sum_1^n E(k/2) = 0 + 1 + 1 + 2 +2 + ... + E(n/2) = 2 \sum_0^{E(n/2)} k - 0 - E[(n + 1)/2] = E(n/2)[E(n/2) + 1] - E[(n + 1)/2] = \\ \\ E(n/2)E(n/2 + 1) - E(n/2 + 1/2) < E(n/2)[E(n/2) + 1] < \dfrac 1 4 (n + 1)^2

or la suite est positive donc elle est bornée

est-elle monotone ?

Posté par
Razesre : Limite d'une suite 13-08-17 à 04:10

On peut aussi faire autrement.

n^2u_n=\sum_{k=1}^{n}E\left (\dfrac{k}{2}\right )

1) Cas n pair; n=2p

\sum_{k=1}^{n}E\left (\dfrac{k}{2}\right )=0+1+1+....+(p-1)+(p-1)+p=2\left (\sum_{k=1}^{p-1}k\right )+p\\=2.\dfrac{p(p-1)}{2}+p=p^2=\dfrac{n^2}{4}\Rightarrow u_n=...

2) Cas n impair; n=2p+1
....

Posté par
Law02re : Limite d'une suite 13-08-17 à 20:43

Razes, je ne comprends pas trop ta démarche.

Posté par
carpediemre : Limite d'une suite 13-08-17 à 21:17

oui on distingue suivant la parité de n et on calcule exactement cette somme ...

Posté par
Razesre : Limite d'une suite 14-08-17 à 00:11

En utilisant 1+2+3+...+p=\dfrac{p(p+1)}{2}

Posté par
nadiasoeur123re : Limite d'une suite 15-08-17 à 14:07

Bonjour ;

\forall x\in \mathbb R : E(x) \le x < E(x) + 1

\Rightarrow E(x) - 1 \le x-1 < E(x)

\Rightarrow x - 1 < E(x) \le x ,

donc : \sum_{k=1}^n (\dfrac{k}{2} - 1) < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{2}

\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^n k

\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \dfrac{n(n+1)}{2} - n < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{1}{2}\dfrac{n(n+1)}{2}

\Leftrightarrow  \dfrac{n(n+1)}{4} - n < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{n(n+1)}{4}

\Leftrightarrow  \dfrac{n^2-3n}{4} < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{n^2+n}{4}

\Leftrightarrow  \dfrac{n^2-3n}{4n^2} < \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{n^2+n}{4n^2}

donc : \lim_{n\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) = \dfrac{1}{4} .

Posté par
Law02re : Limite d'une suite 15-08-17 à 20:05

C'est ce que j'ai trouvé en procèdent  de la même manière que toi je voulais juste savoir si la limite était bien 0,25. Merci

Posté par
alb12re : Limite d'une suite 15-08-17 à 21:09

salut,
verifions avec Xcas
normal(somme(k/2-1,k,1,n)/n^2) // (n-3)/(4*n)
normal(somme(k/2,k,1,n)/n^2) // (n+1)/(4*n)
les limites se calculent mentalement

Posté par
Slpokre : Limite d'une suite 15-08-17 à 22:16

Salut alb12,

je sais que tu aimes Xcas, et je comprends pourquoi... mais s'il te plaît n'encombre pas tous les fils de discussions avec des vérifications mal venues...

Posté par
alb12re : Limite d'une suite 15-08-17 à 22:25

les langages fonctionnels sont au programme de seconde à la rentree.

n:=100000;evalf(somme(floor(k/2),k,1,n)/n^2) // un de plus


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !