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Limite d'une suite

Posté par
Law02
12-08-17 à 21:52

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour déterminer la limite de la suite suivante:

\forall n\in N^*, u_n= \frac{1}{n²} \sum_{k=1}^{n}{}E(\frac{k}{2})

Merci

Posté par
carpediem
re : Limite d'une suite 13-08-17 à 01:29

salut

k/2 prend les valeurs 0.5, 1, 1.5, ..., n/2

\sum_1^n E(k/2) = 0 + 1 + 1 + 2 +2 + ... + E(n/2) = 2 \sum_0^{E(n/2)} k - 0 - E[(n + 1)/2] = E(n/2)[E(n/2) + 1] - E[(n + 1)/2] =
 \\ 
 \\ E(n/2)E(n/2 + 1) - E(n/2 + 1/2) < E(n/2)[E(n/2) + 1] < \dfrac 1 4 (n + 1)^2

or la suite est positive donc elle est bornée

est-elle monotone ?

Posté par
Razes
re : Limite d'une suite 13-08-17 à 04:10

On peut aussi faire autrement.

n^2u_n=\sum_{k=1}^{n}E\left (\dfrac{k}{2}\right )

1) Cas n pair; n=2p

\sum_{k=1}^{n}E\left (\dfrac{k}{2}\right )=0+1+1+....+(p-1)+(p-1)+p=2\left (\sum_{k=1}^{p-1}k\right )+p\\=2.\dfrac{p(p-1)}{2}+p=p^2=\dfrac{n^2}{4}\Rightarrow u_n=...

2) Cas n impair; n=2p+1
....

Posté par
Law02
re : Limite d'une suite 13-08-17 à 20:43

Razes, je ne comprends pas trop ta démarche.

Posté par
carpediem
re : Limite d'une suite 13-08-17 à 21:17

oui on distingue suivant la parité de n et on calcule exactement cette somme ...

Posté par
Razes
re : Limite d'une suite 14-08-17 à 00:11

En utilisant 1+2+3+...+p=\dfrac{p(p+1)}{2}

Posté par
nadiasoeur123
re : Limite d'une suite 15-08-17 à 14:07

Bonjour ;

\forall x\in \mathbb R : E(x) \le x < E(x) + 1

\Rightarrow E(x) - 1 \le x-1 < E(x)

\Rightarrow x - 1 < E(x) \le x ,

donc : \sum_{k=1}^n (\dfrac{k}{2} - 1) < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{2}

\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^n k

\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \dfrac{n(n+1)}{2} - n < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{1}{2}\dfrac{n(n+1)}{2}

\Leftrightarrow  \dfrac{n(n+1)}{4} - n < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{n(n+1)}{4}

\Leftrightarrow  \dfrac{n^2-3n}{4} < \sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{n^2+n}{4}

\Leftrightarrow  \dfrac{n^2-3n}{4n^2} < \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) \le \dfrac{n^2+n}{4n^2}

donc : \lim_{n\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n E(\dfrac{k}{2}) = \dfrac{1}{4} .

Posté par
Law02
re : Limite d'une suite 15-08-17 à 20:05

C'est ce que j'ai trouvé en procèdent  de la même manière que toi je voulais juste savoir si la limite était bien 0,25. Merci

Posté par
alb12
re : Limite d'une suite 15-08-17 à 21:09

salut,
verifions avec Xcas
normal(somme(k/2-1,k,1,n)/n^2) // (n-3)/(4*n)
normal(somme(k/2,k,1,n)/n^2) // (n+1)/(4*n)
les limites se calculent mentalement

Posté par
Slpok
re : Limite d'une suite 15-08-17 à 22:16

Salut alb12,

je sais que tu aimes Xcas, et je comprends pourquoi... mais s'il te plaît n'encombre pas tous les fils de discussions avec des vérifications mal venues...

Posté par
alb12
re : Limite d'une suite 15-08-17 à 22:25

les langages fonctionnels sont au programme de seconde à la rentree.

n:=100000;evalf(somme(floor(k/2),k,1,n)/n^2) // un de plus

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