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limite d une suite

Posté par
aya4545
17-01-22 à 23:29

salut
priere m orienter sur cet exercice
soit n entier naturel on considere la suite S_n=\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}{\frac{(-1)^k}{k!}} et u_n=S_{2n} \quad v_n=S_{2n+1}
1)montrer que les deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes
2)on concidere la fonction f_n definie par :f_n(x)=e^{-x}-\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}{\frac{(-1)^k}{k!}x^k}\quad  n\in \N
3) montrer que \forall x \in \R^+ \quad  f_2n(x)\leq 0\leq f{2n+1}(x)
4) en deduire que \forall n \in \N \quad  v_n\leq \frac{1}{e}\leq u_n et determiner limu_n et limv_n
5)montrer que \forall n \in \N \quad  |S_n-\frac{1}{e}|\leq \frac{1}{n}
6) en deduire que (S_n) est convergente et determiner sa limite
ce que j ai fait
1)j ai montré que les deux suites (u_n) et (v_n ) sont convergents
2)j ai calculé f'_2n je dois montrer qu elle est negative etant donné que f_2n(0)=0mais je suis bloqué sur le signe f_2n' sur \R^+ et merci

Posté par
Zormuche
re : limite d une suite 18-01-22 à 00:31

Bonjour

Quelle est la définition de suites adjacentes ? Est-ce que c'est bien ce que tu as montré en 1) ?

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 18-01-22 à 07:47

bonjour
ona
 S_n=\sum\limits_{\substack{k=0 }}^{n}{\frac{(-1)^k}{k!}} \quad u_n=S_{2n} \quad v_n=S_{2n+1}
u_{n+1}-u_n= \frac{-1-2n}{(2n+2)!}<0 donc (un)est decroissante
v_{n+1}-v_n=\frac{1}{(2n+3)(2n+1)!}>0( vn)
est donc croissante
un-vn=1/(2n+1)! tend vers 0 donc un et vn sont adjacentes et merci

Posté par
larrech
re : limite d une suite 18-01-22 à 09:13

Bonjour,

Pour la 2), exprimer f'_{2n} (respectivement  f'_{2n+1 }) en fonction de f_{2n-1} (respectivement f_{2n}) et faire une récurrence ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite d une suite 18-01-22 à 09:37

Bonjour,
J'ai beau écarquiller les yeux, je ne vois pas de question posée dans 2).

Posté par
larrech
re : limite d une suite 18-01-22 à 10:00

Citation :
2)j ai calculé f'_2n je dois montrer qu elle est negative etant donné que f_2n(0)=0mais je suis bloqué sur le signe f_2n' sur \R^+ et merci


Voilà le pourquoi du comment.

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 18-01-22 à 11:56

bonjour
merci  larrech    egalementSylvieg
j ai montré que \forall n \N \quad  f'_n=-f_{n-1} (recurence)
j ai deduit ensuite que  f_2n\leq 0\leq f_{2n+1}
pour 4) je trouve     \forall n \in \N \quad  v_n\leq e^x\leq u_n

Posté par
larrech
re : limite d une suite 18-01-22 à 12:05

Pour la 4), donc ( attention à la numérotation, c'est très important), il y a quelque chose qui ne va pas.
A moins qu'il ne s'agisse d'une faute de frappe.

u_n et v_n  ne dépendent pas de x, cela signifierait que e^x est bornée.

La double inégalité de 3) est valable pour tout x, et en particulier...

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 18-01-22 à 12:32

salut
ona              \forall x \in \R^+ \forall n \in \N \quad  v_n\leq e^{-x}  \leq u_n    donc en particulier pour x=1d ou le resultat

Posté par
lake
re : limite d une suite 18-01-22 à 12:35

Bonjour,

Non, regarde ce qu'a écrit Larrech :

  

Citation :
La double inégalité de 3) est valable pour tout x, et en particulier...

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 18-01-22 à 12:40

salut
lim Sn=1/e mais aucune idée sur lim un=limvn

Posté par
lake
re : limite d une suite 18-01-22 à 12:48

4) Je reprends; tu ne peux pas écrire :

  

Citation :
ona              \forall x \in \R^+ \forall n \in \N \quad  v_n\leq e^{-x}  \leq u_n


qui est faux mais par contre, tu peux écrire :

   f_{2n}(1)\leq 0\leq f_{2n+1}(1) et conclure.

   v_n\leq \dfrac{1}{e}\leq u_n

Tu es dans une configuration de deux suites adjacentes donc convergentes vers la même limite :
Par exemple, 0\leq \dfrac{1}{e}-v_n\leq u_n-v_n

Posté par
lake
re : limite d une suite 18-01-22 à 13:12

Autre chose :

   [

Citation :
lim Sn=1/e


Oui, nous sommes en 6).

Mais avant, il y a 5) :

  
Citation :
5)montrer que \forall n \in \N \quad  |S_n-\frac{1}{e}|\leq \frac{1}{n}


  Comment t'y es-tu pris ?

Bien sûr, si Larrech pointe le bout de son nez, je m'éclipse

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 18-01-22 à 13:16

salut
merci  pour vos  conseils
pour la 5) je nai aucune idée

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 18-01-22 à 13:18

je pense qu il fallait discuter suivant la paritée de n

Posté par
lake
re : limite d une suite 18-01-22 à 13:22

5) On sait donc d'après 4) que:

  S_{2n+1}\leq \dfrac{1}{e}\leq S_{2n}

Que n soit pair ou impair, on a bien :

  \left|S_n-\dfrac{1}{e}\right|\leq S_{2n}-S_{2n+1}

Cette dernière différence, on peut la calculer et elle est laaaargement inférieure à \dfrac{1}{n}

Posté par
lake
re : limite d une suite 18-01-22 à 13:45

Une erreur :

Citation :
Que n soit pair ou impair, on a bien :

  \left|S_n-\dfrac{1}{e}\right|\leq \left|S_{n}-S_{n+1}\right|


qui ne change rien pour la suite.

Posté par
aya4545
re : limite d une suite 18-01-22 à 13:50

salut
je detaille votre demonstration lake ona
S_{2n+1}\leq \dfrac{1}{e}\leq S_{2n} donc S_{2n+1}-S_{2n}\leq \dfrac{1}{e}-S_{2n}\leq S_{2n}-S_{2n}\leq S_{2n}-S_{2n+1}
et par suite | \dfrac{1}{e}-S_{2n}|\leq S_{2n}-S_{2n+1}
on montre de meme que  | \dfrac{1}{e}-S_{2n+1}|\leq S_{2n}-S_{2n+1}
et par suite   | \dfrac{1}{e}-S_{n}|\leq S_{2n}-S_{2n+1}
S_{2n}-S_{2n+1}=\dfrac {1}{(2n+1)!}<\dfrac{1}{n}
conclusion    | \dfrac{1}{e}-S_{n}|<\dfrac{1}{n}

Posté par
lake
re : limite d une suite 18-01-22 à 14:53

Il y a des petites choses qui ne vont pas (j'ai rectifié 13h22 à 13h45) :

  De S_{2n+1}\leq \dfrac{1}{e}\leq S_{2n}, on déduit ;

\begin{cases}S_{2n}-\dfrac{1}{e}\leq S_{2n}-S_{2n+1}\\\dfrac{1}{e}-S_{2n+1}\leq S_{2n}-S_{2n+1}\end{cases}

Qu'on peut résumer (il ne faut pas oublier les valeurs absolues !)en :

  \left|S_n-\dfrac{1}{e}\right|\leq \left|S_{n+1}-S_n\right|=\dfrac{1}{(n+1)!}\leq \dfrac{1}{n}

Posté par
larrech
re : limite d une suite 18-01-22 à 16:20

Bonjour lake, merci de d'avoir pris le relais

Posté par
lake
re : limite d une suite 18-01-22 à 16:23

Bonjour larrech,

A chaque message que j'ai posté, j'ai regardé si tu n'étais pas connecté



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