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Limite d'une suite

Posté par
godestalbin 09-10-23 à 14:53

Bonjour,
Enoncé: Un est la suite définie par U1=-1 et pour tout entier naturel n>=1, U_{n+1}=[tex]U_{n}< \frac{n}{2(n+1)} U_{n}+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}

1) Que peut-on émettre comme conjecture sur les bornes et les variations de la suite (Un) ?
2) Démontrer que la suite (Un) est convergente.
3) En considérant la suite (Vn) définie sur N* par vn=n(3-Un), exprimer Un en fonction de n.
4) Déterminer alors la limite de la suite (Un).

Résolution:
1) Est-ce suffisant de calculer les premières valeurs:

nUn
......
72.984375
82.993055556

pour conjecturer que la série est croissante avec une limite vers 3.

Auparavant, j'avais tenté de le faire en regardant vers quoi tendait le premier terme n/2(n+1) lim = 1/2 à multiplier par Un et le second terme 3(n+2)/2(n+1) lim =3/2
Mais je ne sais pas comment prendre en compte la multiplication du premier terme par Un (-1 pour n=1 mais ensuite ça devient 2.5 pour n=2) En fait pour le faire comme ça il faut déjà prendre en compte que la lim Un=3.

2) Je dois montrer qu'elle est croissante: Un+1-Un > 0 ou que Un < Un+1 et qu'elle est majorée.
Déjà pour montrer qu'elle est croissant je suis bloquée.
U_{n} < U_{n+1}

U_{n}< \frac{n}{2(n+1)} U_{n}+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}

U_{n} (2n+2) < n U_{n} + 3n + 6

2n U_{n} + 2 U_{n} < n U_{n} + 3n + 6

n U_{n} + 2 U_{n} < n U_{n} +6

n U_{n} < (n - 2) U_{n} + 6

n < n - 2 +  \frac{6}{U_{n}}

2 < \frac{6}{U_{n}}

2 U_{n} < 6

U_{n} <  3

J'ai démontré que Un est limité par 3 pas que la suite est croissante ?

Posté par
malou Webmasterre : Limite d'une suite 09-10-23 à 15:19

Bonjour
Peux-tu réécrire la définition de la suite s'il te plaît

Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci.

Posté par
godestalbinre : Limite d'une suite 09-10-23 à 15:36

U_{n} = -1

U_{n+1} = \frac{n}{2(n+1)} U_{n} + \frac{3(n+2)}{2(n+1)}

Posté par
godestalbinre : Limite d'une suite 09-10-23 à 15:37

godestalbin @ 09-10-2023 à 15:36

U_{n} = -1

U_{n+1} = \frac{n}{2(n+1)} U_{n} + \frac{3(n+2)}{2(n+1)}


C'est:
U_{1} = -1

Posté par
lakere : Limite d'une suite 09-10-23 à 18:11

Bonjour,

La propriété u_n\leq 3 se montre par récurrence.
Ensuite, tu peux prouver que :

  u_{n+1}-u_n=\dfrac{(3-u_,)(n+2)}{2(n+1)} et en déduire les signe.

Posté par
lakere : Limite d'une suite 09-10-23 à 18:13

Zut !

  u_{n+1}-u_n=\dfrac{(3-u_n)(n+2)}{2(n+1)}

Posté par
godestalbinre : Limite d'une suite 10-10-23 à 18:52

Bonjour

Merci pour l'aide. Pour la question 1) est-ce que ma réponse est suffisante ?
J'ai toujours un problème pour factoriser des expressions:
Quand j'arrive à -nUn +3n + 6 - 2n je vois bien l'expression factorisé (3-Un)(n+2) est équivalente mais pas facile de le trouver seul.

Voici maintenant ma réponse pour le 2)
Je dois d'abord montrer qu'elle est est majorée par 3 car nous avons besoin de Un<=3 pour faire la démonstration par récurrence sur la croissance de la suite:
Un est majorée par 3 si 3 - Un >= 0
Nous faisons la démonstration par récurrence:
Vrai au rang 1: 3 - U1 = 3+1 = 4 > 0
Supposons vrai au rang n (3-Un > 0) et montrons que 3 - Un+1 > 0

3 - Un+1 = 3-\left(\frac{n}{2(n+1)}U_{n}  + \frac{3(n+2)}{2(n+1)} \right)

=3-\left(\frac{nU_{n} + 3n + 6 }{2(n+2)}\right)

=\frac{6n + 6 - nU_{n} -3n - 6}{2(n+2)}

\frac{n(3-U_{n})}{(2(n+1)}

Comme 3 - U1 > 0 et n > 0 le nominateur est positif
Come n est positif le dénominateur est positif
Donc on peut conclure que Un+1 > 0 ce qui permet de conclure finalement que Un est majorée par 3.

Montrons maintenant que Un est croissante, pour cela on calcule Un+1 - Un:

\frac{n}{2(n+1)}U_{n}+ \frac{3(n+2)}{2(n+1)}-U_{n}

\frac{nU_{n}+3n+6-2nU_{n}-2n}{2(n+1)}

\frac{-nU_{n}+n+6-2U_{n}}{2(n+1)}

\frac{(n+2)(3-U_{n})}{2(n+1)}

Comme Un est majoré par 3 et n est positif on peut en conclure que le quotient est >=0 donc la suite est croissante.

J'en suis maintenant au 3) en considérant Vn=n(3-Un) exprimer Un en fonction de n.
Est-ce que l'énoncé tient la route ? Ce n'est pas plutôt Vn que l'on doit exprimeren fonction de n ?
Je ne vois pas comment faire.
J'ai développé l'expression Vn=n(3-Un) en remplaçant Vn par:

U_{n}=\frac{n-1}{2n-1+1}Un-1+\frac{3(n-1+2)}{2(n-1+1)} \\

Pour arriver à

\frac{3n -(n-1)U_{n-1}+3}{2}

Ca ne semble pas une bonne piste.

Posté par
lakere : Limite d'une suite 10-10-23 à 23:49

Bonsoir,
1) Les conjectures : -1\leq u_n\leq 3 et (u_n) croissante.
3) La suite (v_n) est une suite auxiliaire : montre d'abord que (v_n) est géométrique (raison, premier terme v_1), calcule son terme général en fonction de n et enfin u_n en fonction de n.

Posté par
godestalbinre : Limite d'une suite 11-10-23 à 09:14

Je suis toujours sur la question 3):
Vn=n(3 - Un)
Vn+1=(n+1)(3 - Un+1)

(n+1)\left(3-\left(\frac{n}{2(n+1)} U_{n}+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}\right)\right)

\frac{3(n+1) - n U_{n} -3n - 6}{n+1}

\frac{-nU_{n}-3}{n+1}

On remplace Un par
Vn=n(3 - Un)=3n - n Un
Soit Un = (3n - Vn) / n

\frac{-n\left(\frac{3n - V_{n}}{n} \right)-3}{n+1}

\frac{-3n + nV_{n} - 3}{n+1}

Je suis bloqué, est-ce qu'il y a une erreur dans mon calcul ?

Posté par
lakere : Limite d'une suite 11-10-23 à 10:47

Je ne peux que te répéter ce que je t'ai déjà dit :

  

Citation :
montre d'abord que (v_n) est géométrique (raison, premier terme v_1), calcule son terme général en fonction de n et enfin u_n en fonction de n.

Posté par
lakere : Limite d'une suite 11-10-23 à 10:53

Tu as du te tromper dans tes calculs; reprends les.
En principe, tu dois tomber sur :

v_{n+1}=\dfrac{1}{2}n(3-u_n)= \dfrac{1}{2}v_n

Dès le départ, en développant, les n+1 se simplifient partiellement.

Posté par
godestalbinre : Limite d'une suite 11-10-23 à 18:28

J'ai enfin la réponse pour la question 3), après m'y être repris 5 fois. Je ne suis vraiment pas doué pour faire des calculs.

Pour la question 4) Déterminer la limite de Un
Vn est donc une suite géométrique de raison q=1/2.
Comme -1 < q < 1, la suite Vn converge vers 0.

On a donc lim(+infini) Vn = n (3 - Un) = 0
Comme lim(+infini) n = +infini, il faut que lim(+infini) 3 - Un = 0, ce qui implique que lim(+infini) Un = 3

Est-ce correct ?

PS: Pour la question 1) Est-ce que simplement calculer les premières valeurs est suffisant pour conjecturer ?

Merci pour l'aide.

Posté par
lakere : Limite d'une suite 11-10-23 à 18:54

Ta démarche pour 3) n'est pas vraiment fausse mais elle ne me plaît pas.

  

Citation :
Vn est donc une suite géométrique de raison q=1/2.


Oui et de premier terme v_1=1(3-u_1)=4

On en déduit le terme général de (v_n) :

  v_n=v_1q^{n-1}=\dfrac{4}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{2^{n-3}}

puis u_n=3-\dfrac{v_n}{n}=3-\dfrac{1}{n.2^{n-3}}

\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=3 s'en déduit immédiatement.

Citation :
PS: Pour la question 1) Est-ce que simplement calculer les premières valeurs est suffisant pour conjecturer ?


Mais oui ! Une conjecture n'est qu'une ... conjecture qui n'engage à rien pour la suite.
Je dois quitter ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une suite 12-10-23 à 18:00

Bonjour,

Citation :
Je ne suis vraiment pas doué pour faire des calculs
Je propose une méthode qui fonctionne assez souvent avec les suites auxiliaires et qui rend les calculs un peu moins pénible :

Une fois conjecturé la limite égale à 3, on peut regarder ce qui se passe quand on remplace u_{n} par 3 dans l'expression de u_{n+1}, c'est à dire dans \dfrac{n}{2(n+1)} u_{n} + \dfrac{3(n+2)}{2(n+1)}.

On obtient \dfrac{6n+6}{2(n+1)} = 3

On a donc 3 = \dfrac{n}{2(n+1)} \times 3 + \dfrac{3(n+2)}{2(n+1)}

Or u_{n+1} = \dfrac{n}{2(n+1)} u_{n} + \dfrac{3(n+2)}{2(n+1)}

En soustrayant membre à membre les deux égalités, on obtient

3 - u_{n+1} = \dfrac{n}{2(n+1)} (3 - u_{n}).

D'où (n+1)(3 - u_{n+1}) = \dfrac{1}{2} n(3 - u_{n}).

Ce qui n'est pas très éloigné de v_{n+1} = \dfrac{1}{2} v_{n}.

Posté par
lakere : Limite d'une suite 12-10-23 à 21:11

Bonsoir,
J'espère que godestalbin appréciera
Néanmoins, je pense que les « calculs » élémentaires font partie intégrante des mathématiques et qu'il est bénéfique de les maîtriser.
>>gosestalbin, tu as une marge de progression devant toi : ne la néglige pas

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une suite 12-10-23 à 21:15

Bonsoir lake


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