Bonjour à tous,
Depuis ce matin je bute sur un problème qui est le suivant:
Soit a et b deux réels non nuls tel que a appartient à ]-1;1[ . Pour tout entier naturel n on a u(n+1)=au(n)+b.
Montrer que la limite de cette suite est
Aucune idée de la ou commencer, mis à part le ait peut être de trouver une forme explicite de la suite mais même avec ça je ne saurais pas où aller ensuite.
Merci d'avance pour vos réponses
Bonjour, déroule le processus des suites arithmético-géométriques. ça consiste à utiliser une suite auxiliaire
vn = un + k et trouver le k de façon que la suite vn soit géométrique.
on en déduit vn en fonction de n, puis un et là on trouve facilement la limite.
Bonjour,
Oui, trouver une suite auxiliaire géométrique. qui convergera vers 0.
La démarche :
Vérifier que l'équation x = ax + b a une unique solution réelle r .
Comme par hasard, r = b/(1-a).
Soustraire membre à membre les 2 égalités :
u(n+1)=au(n)+b
r = ar + b
Donc au final j'ai *,
* \ {1},
u(n+1)=au(n)+b (1)
, v(n)=a^n u(0)+ k (2)
Comme a * \ {1}, u(n) converge vers k d'après l'équation (2) et par passage à la limité dans (1) on a c=ac+k comme a est bien différent de 1 alors on trouve bien
Est ce que c'est bien ça?
Je viens juste de voir vos réponses je n'avais pas actualisé x(
Mais ce que j'ai fait revient à ce qu'a dit Sylvieg non?
Nd: A la fin c'est bien k=ak+b et non pas c=ac+k
heu, je ne comprends pas ton k ? k a une valeur bien déterminée.
je ne comprends pas non plus ton v(n)=a^n u(0)+ k ? tu trouves ça comment ? un n'est pas géométrique.
je ne suis pas sûr que tu ais bien compris les pistes proposées ?
Oui petite erreur pour le k il a bien une valeur déterminée et pour le a^n u(0) c'est la forme explicite de au(n)
Mais je n'ai pas fait la forme explicite de u(n+1) mais de la partie qui la compose qui est au(n) qui elle est bien géométrique
non ça ne marche pas. un n'est pas géométrique et donc tu n'as pas le droit d'écrire un=u0 an.
Pourquoi tu ne suis pas les pistes que l'on t'a proposées pour trouver l'expression explicite de un en fonction de n ?
relis le post de Sylvieg de 15:42
Si tu relis bien mon message je n'ai à aucun moment marqué u(n)=u(0) a^n. J'ai bien défini une suite axillaire en incrémentant k. Justement j'ai envoyé mon message sans avoir lu le sien car je n'ai pas actualisé la page mais il me semble que ce que j'ai fait revient bien à ce qu'elle me propose
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