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Limite d'une suite avec exponentielle

Posté par
n42
31-03-19 à 18:12

Bonjour,

Je bloque sur cette question dans mon DM à rendre pour demain :

Calculer les limites des suites (an) et (bn)

On a : (an) = e(n-2)/2n et (bn) = (n/2)e(2n-4)/2n

Pour la première suite, j'ai essayé de développer comme suit :

e(n-2)/2n = e1/2n/(n-2) = e1/2n.e1/(n-2)
Mais après je bloque...
Pourriez-vous m'aider ?

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:18

bonjour

j'aimerais savoir quelle propriété de l'exponentielle tu utilises pour cette transformation !

Posté par
malou Webmaster
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:18

ne t'occupe pas de l'exponentielle dans un premier temps
cherche la limite de (n-2)/(2n) d'abord

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:20

ta suite est bien :

\large  a_n = e^{\frac{n-2}{2}n}

(c'est ce que tu as écrit)

Posté par
cocolaricotte
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:21

Bonjour

Quelle est la bonne expression

1/2n/(n-2) se comprend en \dfrac{1}{2} *\dfrac{n}{n-2}

Est-ce ce que tu as voulu écrire ?

Comment bien rédiger une expression mathématiques : réponse à la question 27 de la FAQ dont le lien est dans le message à lire avent de poster

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:21

malou
ah mince je suis bigleux, j'avais pas vu les parenthèses en bas

Posté par
malou Webmaster
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:23

oui, je vais te payer des lunettes...moi j'avais pas les miennes !!

mais bon, vais lui mettre ça quand même !

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule ?

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:25

(je plaisantais Malou )

n42

donc si ta suite est :

\large  a_n=e^{\frac{n-2}{2n}}

alors :
1 : il manque des parenthèses dans ton énoncé
2 : la transformation que tu fais est totalement surréaliste
3 : comme dit malou ... vers quoi tend (n-2)/(2n) quand n tend vers l'infini ?

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:26

(an) = e(n-2)/(2n) matheuxmatou

Posté par
cocolaricotte
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:26

moi aussi je vais changer de lunettes !

rien à faire juste calculer la limite en + de dfrac{n-2}{2n}

si l'exposant est bien (n-2)/(2n)

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:26

oui c'est ça.
D'accord je calcule la limite et je vous dis ce que j'obtiens

Posté par
cocolaricotte
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:27

moi aussi je vais changer de lunettes !

rien à faire juste calculer la limite en + de \dfrac{n-2}{2n}

si l'exposant est bien (n-2)/(2n)

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:29

n42 c'est bon j'attends

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:30

Alors j'obtiens : lim (an) = 0 (

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:30

euh pardon plutôt lim (n-2)/(2n) = 0

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:31

explique moi ta démarche

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:35

ah pardon je vais refaire le calcul (je viens de rendre compte que je suis allé trop vite).

On factorise:

(n-2)/(2n) = (n(1-(2/n))/(2n)

lim (2/n) = 0 donc lim 1-(2/n) = 1 et lim 2 = 2 . D'où par quotient lim (n-2)/(2n) = 1/2

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:36

je préfère !
tu oublies de préciser que tu as simplifié ta fraction par "n" après la factorisation... mais l'idée est là

donc la limite de an ?

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:38

Du coup on peut en déduire que : lim (an) = e1/2 ?

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:42

ben oui ! toi tu fais des réponses... donc le point d'interrogation est inutile !

bon allez, l'autre

Posté par
cocolaricotte
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:45

(2n-4)/2n

C'est \dfrac{n-4}{2}  n ou  \dfrac{n-4}{2n}  ?

Posté par
cocolaricotte
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:46

C'est \dfrac{2n-4}{2}  n ou  \dfrac{2n-4}{2n}  ?

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:47

matheuxmatou ok super merci : )

cocolaricotte c'est la deuxième expression (il y a encore un problème de parenthèses)

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:50

Je vais faire le même raisonnement que pour an du coup..

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 18:58

J'ai donc d'abord calculé la limite de (2n-4)/(2n).

En factorisant, je trouve :  (2n-4)/(2n) = (n(2-(4/n))/(2n) (en simplifiant la fraction par n)

lim (4/n) = 0 donc lim 2-(4/n) = 2. D'où par quotient lim (2n-4)/(2n) = 1

Donc lim e(2n-4)/(2n) = e1 = e

Du coup, est-ce qu'on peut dire que lim (bn) = (n/2).e ?

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:01

c'est dommage, ça commençait bien

bizarre le résultat d'une limite où figure encore la variable "n" qu'on a fait tendre vers l'infini !

Posté par
carpediem
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:02

salut

il est dommage de ne pas savoir que \dfrac {a + b} c = \dfrac a c + \dfrac b c

on obtient alors immédiatement le résultat (par produit de limites dans le deuxième cas)

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:08

matheuxmatou oui c'est que je me dis. Il faut la limite de (n/2), mais comment trouver cette dernière ?

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:14

tu rigoles ?

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:15

Oh je crois que j'ai compris :

lim (n/2) = lim n * 1/2 = +.

D'où lim (bn) = + (par produit de limites)

Posté par
matheuxmatou
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:16

ouiiiiii !

Posté par
n42
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:17

ok merci finalement c'était pas si compliqué

Posté par
cocolaricotte
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:22

Règle (qui ne s'applique pas ici parce qu'il y a plus simple) pour lever une indétermination du genre divisé par :

mettre le terme de plus haut degré (tout le terme pas seulement la variable ..... ne pas oublier par quoi cette variable est multipliée) au numérateur et au dénominateur !

Posté par
carpediem
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:45

n42 @ 31-03-2019 à 19:15

Oh je crois que j'ai compris :

lim (n/2) = lim n * 1/2 = +.

D'où lim (bn) = + (par produit de limites)
ouais enfin la fonction n --> n/2 est affine (et même linéaire)

en terminale les limites de telles fonctions sont immédiates !!!

Posté par
cocolaricotte
re : Limite d'une suite avec exponentielle 31-03-19 à 19:54

Ce posteur avait compris que \dfrac{n}{2} = n \dfrac{1}{2}

Il n'a pas vu que   \dfrac{n}{2} = \dfrac{1}{2}  n

et qu'il pouvait utiliser son tableau sur les opérations entre limites avec un réel k  et une fonction u et la fonction ku (sauf quand k=0 et quand la limite de u est infinie)  

Les premiers S sont assez imprévisibles devant les fractions !



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