Niveau terminale

Limite d'une suite récurrente

Posté par
meso15 03-01-21 à 20:59

Bonjour à tous,
Tout d'abord, je vous souhaite une bonne année !

J'ai un DM de maths pour******et j'aimerais que vous jetiez un coup d'?il sur le premier exercice.
Voici l'énoncé
Quel sens donner à l'écriture infinie $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{...}}}}$ ?
Une possibilité est de voir cette écriture comme la limite d'une suite d'écritures finies.
$\sqrt{1} \rightarrow \sqrt{1+\sqrt{1}} \rightarrow \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}} \rightarrow ...$

Pour passer d'une écriture E à la suivante on écrit $\sqrt{1+E}$
puis on met le tout sous la racine.
Chaque écriture représente un nombre et si la suite de ces nombres converge vers une limite l alors on pourra dire $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{...}}}}= l$

On définit donc la suite $(U_{n})_{n\in N}$ par $\begin{cases} & u_{0}=1 \\ & u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}} \end{cases}$

1) Sur un même graphique représenter les courbes d'équation $y=x$
et $y=\sqrt{1+x}$ pour $x$ dans l'intervalle $[ 0 ; 2 ]$
2) Construire graphiquement les premiers termes de la suite et conjecturer le comportement de la suite.
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $1\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 2$
4) Justifier que la suite converge et calculer sa limite.

Et voilà mes réponses:
1) Voir pièce jointe graphe Q1
2) Voir pièce jointe graphe Q2
Conjecture : La suite semble être croissante et majorée par M=2 à partir d'un certain rang donc elle semble être conergente.
3) On identifie la fonction $f$ telle que : $u_{n+1}=f(u_{n})$ :
$f(x)=\sqrt{1+x}$
On étudie les variations de la fonction $f$ .
Calcul de la derivée $f'$ :
$f(x)=\sqrt{1+x}$ donc $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$
$f(x)=\sqrt{1+x}$ est définie sur $\left[-1 \right;+ \infty [$ et sa dérivée est définie sur $\left[0 \right;+ \infty [$ car $f'(x)>0$ pour tout $x>-1$
*tableau de variations en pj*
$f(-1)=\sqrt{1-1}=0$
Démonstration par récurrence de $P(n):1\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 2$
Initialisation:
Pour $n=0$ on a:
$u_{0}=1$ et $u_{1}=\sqrt{1+u_{0}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
On a bien $1\leq u_{0}\leq u_{1}\leq 2$ donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité:
Soit un entier naturel n. Supposons que $P(n)$ est vraie et montrons que $P(n+1)$ est vraie.
$1\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 2\\ \Leftrightarrow f(1)\leq f(u_{n})\leq f(u_{n+1})\leq f(2)\\ \Leftrightarrow 1\leq \sqrt{2}\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq \sqrt{3}\leq 2$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion:
$P(0)$ est vraie et $P(n)$ est héréditaire à partir du rang $0$
, donc par récurrence $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ .

4) D'après la question 3) la suite est croissante et majorée par $M=2$
donc $(u_{n})$ converge vers un réel $l$ tel que $1\leq l\leq M$

Calcul de la limite $l$ :
$f$ est une fonction continue et la suite $(u_{n})$ est définie par $u_{n+1}=f(u_{n})$ et elle converge vers un réel $l$ donc $l$ vérifie l'équation : $l=f(l)$
Comme $u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}}$ alors on a $l=\sqrt{1+l}$
$l=\sqrt{1+l} \\\Leftrightarrow l^{2}=1+l \\\Leftrightarrow l^{2}-(1+l)=0 \\\Leftrightarrow l^{2}-1-l=0$
$l^{2}-1-l=0$ est une équation polynôme du second degré donc on résoud l'équation en cherchant les racines.
$\Delta = b^{2}-4ac \\\; \; \; \:= (-1)^{2}-4\times 1\times (-1) \\\; \; \; \:=5$
$\Delta > 0$ donc il existe deux racines.
$l_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{1-\sqrt{5 }}{2}$
$l_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{1+\sqrt{5 }}{2}$
Donc la limite $l$ est égale à $l_{1}$ ou à $l_{2}$ sauf qu'on travaille sur l'intervalle $[\; 0\; ; \; +\infty \; [$ et $l_{1}= \frac{1-\sqrt{5 }}{2} \simeq -0,62$ donc la limie $l=\frac{1+\sqrt{5 }}{2} \simeq 1,62$
Donc la suite $(u_{n})$ converge vers $\frac{1+\sqrt{5 }}{2}$ . $Limite d\'une suite récurrente$
$\lim_{n\rightarrow +\infty } (u_{n})= \frac{1+\sqrt{5 }}{2}$ .

Merci d'avance,

_{*modération > meso15, pour la gestion du temps, cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*}

Posté par re : Limite d'une suite récurrente 03-01-21 à 21:01

Pour question 1 et 2

$Limite d\'une suite récurrente$

$Limite d\'une suite récurrente$

Posté par re : Limite d'une suite récurrente 04-01-21 à 11:16

Bonjour,
Q1: Ok
Q2: Ton graphique n'indique pas grand chose. Pourquoi "M=2"?
Q3: Le début de ta réponse ne correspond pas à la question posée. L'étude de f(x) pourrait en revanche être inclue dans la Q1. En ce qui concerne la récurrence, ça me parait bon.
Q4: Pourquoi 2?

Posté par re : Limite d'une suite récurrente 04-01-21 à 11:17

Ok pour le calcul de la limite

Posté par re : Limite d'une suite récurrente 04-01-21 à 12:08

Bonjour à vous deux,
juste pour rappeler à meso15 le principe de visualisation des suites récurrentes.
_{tu as la méthode expliquée là si tu veux

tu dessines la courbe (ici y=(x+1)) et la droite y=x qui sert à rabattre les points de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence. Les segments semblent rebondir un coup sur la courbe et un coup sur la droite; A chaque verticale bleue, il y a un terme de la suite.}
ça donne :
$Limite d\'une suite récurrente$
on voit bien les termes de la suite converger et ça permet aussi de vérifier la valeur que tu as trouvée pour la limite.

Posté par re : Limite d'une suite récurrente 05-01-21 à 22:57

sanantonio312
Merci de m'avoir répondu !
Pour question 2, je pense que j'ai écrit M=2 après avoir fait question 3. Du coup faut-il conjecturer que la suite converge seulement ?
Pour question 3, j'ai commencé par l'étude de f(x) pour pouvoir démontrer par récurrence et donc pouvoir remplacer u_n et u_n+1 par f(u_n) et f(u_n+1).
Pour question 4, là encore j'ai mis M=2 car j'ai démontré dans la question 3 que tous les termes de la suite sont compris entre 1 et 2

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