Bonjour à tous,
Tout d'abord, je vous souhaite une bonne année !
J'ai un DM de maths pour******et j'aimerais que vous jetiez un coup d'?il sur le premier exercice.
Voici l'énoncé
Quel sens donner à l'écriture infinie ?
Une possibilité est de voir cette écriture comme la limite d'une suite d'écritures finies.
Pour passer d'une écriture E à la suivante on écrit
puis on met le tout sous la racine.
Chaque écriture représente un nombre et si la suite de ces nombres converge vers une limite l alors on pourra dire
On définit donc la suite par
1) Sur un même graphique représenter les courbes d'équation
et pour
dans l'intervalle
2) Construire graphiquement les premiers termes de la suite et conjecturer le comportement de la suite.
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel on a
4) Justifier que la suite converge et calculer sa limite.
Et voilà mes réponses:
1) Voir pièce jointe graphe Q1
2) Voir pièce jointe graphe Q2
Conjecture : La suite semble être croissante et majorée par M=2 à partir d'un certain rang donc elle semble être conergente.
3) On identifie la fonction telle que :
:
On étudie les variations de la fonction .
Calcul de la derivée :
donc
est définie sur
et sa dérivée est définie sur
car
pour tout
*tableau de variations en pj*
Démonstration par récurrence de
Initialisation:
Pour on a:
et
On a bien donc
est vraie.
Hérédité:
Soit un entier naturel n. Supposons que est vraie et montrons que
est vraie.
Donc est vraie.
Conclusion: est vraie et
est héréditaire à partir du rang
, donc par récurrence est vraie pour tout entier naturel
.
4) D'après la question 3) la suite est croissante et majorée par
donc converge vers un réel
tel que
Calcul de la limite :
est une fonction continue et la suite
est définie par
et elle converge vers un réel
donc
vérifie l'équation :
Comme alors on a
est une équation polynôme du second degré donc on résoud l'équation en cherchant les racines.
donc il existe deux racines.
Donc la limite est égale à
ou à
sauf qu'on travaille sur l'intervalle
et
donc la limie
Donc la suite converge vers
.
.
Merci d'avance,
*modération > meso15, pour la gestion du temps, cela dépendra essentiellement de ton investissement sur le sujet*
Bonjour,
Q1: Ok
Q2: Ton graphique n'indique pas grand chose. Pourquoi "M=2"?
Q3: Le début de ta réponse ne correspond pas à la question posée. L'étude de f(x) pourrait en revanche être inclue dans la Q1. En ce qui concerne la récurrence, ça me parait bon.
Q4: Pourquoi 2?
Bonjour à vous deux,
juste pour rappeler à meso15 le principe de visualisation des suites récurrentes.
tu as la méthode expliquée là si tu veux
tu dessines la courbe (ici y=(x+1)) et la droite y=x qui sert à rabattre les points de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence. Les segments semblent rebondir un coup sur la courbe et un coup sur la droite; A chaque verticale bleue, il y a un terme de la suite.
ça donne :
on voit bien les termes de la suite converger et ça permet aussi de vérifier la valeur que tu as trouvée pour la limite.
sanantonio312
Merci de m'avoir répondu !
Pour question 2, je pense que j'ai écrit M=2 après avoir fait question 3. Du coup faut-il conjecturer que la suite converge seulement ?
Pour question 3, j'ai commencé par l'étude de f(x) pour pouvoir démontrer par récurrence et donc pouvoir remplacer un et un+1 par f(un) et f(un+1).
Pour question 4, là encore j'ai mis M=2 car j'ai démontré dans la question 3 que tous les termes de la suite sont compris entre 1 et 2
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