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Limite de ln

Posté par
matheux14
05-02-21 à 11:14

Bonjour ,

Merci d'avance.

Alors je dois déterminer \lim_{x\to+\infty}\dfrac{ln(4x)}{ln(3x)}

J'ai essayé de mettre x en facteur en haut et en bas et fait ressorti 4 et 3 mais j'ai une forme indéterminée..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de ln 05-02-21 à 11:23

Bonjour,
Que connais-tu comme forme indéterminée avec ln en + ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de ln 05-02-21 à 11:26

Pas très intéressant en fait.
Plutôt que x en facteur, essaye avec ln(x).

Posté par
matheux14
re : Limite de ln 05-02-21 à 12:34

J'essaie, çà ne marche pas..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de ln 05-02-21 à 13:49

Pour x > 0
ln(4x) = ln(x) ( ln(x) + ln(4) ) / ln(x) = ln(x) ( 1+ ... )

Idem avec ln(3x)

Posté par
hekla
re : Limite de ln 05-02-21 à 13:52

Bonjour

Quels sont vos calculs pour affirmer que cela ne marche pas ?

Posté par
hekla
re : Limite de ln 05-02-21 à 13:53

Bonjour Sylvieg

je vous laisse continuer

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de ln 05-02-21 à 14:03

Bonjour hekla,
Vous pouvez suivre
Votre question est pertinente !

Posté par
matheux14
re : Limite de ln 05-02-21 à 17:09

On a : \forall x\in ]0;+\infty[ , \dfrac{ln(4x)}{ln(3x)}.

Si je mets ln x en facteur , j'ai :

\dfrac{ln~x\dfrac{ln(4x)}{ln~x}}{ln~x\dfrac{ln(3x)}{ln~x}}=\dfrac{\dfrac{ln(4x)}{ln~x}}{\dfrac{ln(3x)}{ln~x}}=\dfrac{ln(4x)}{ln~x}×\dfrac{ln~x}{ln(3x)}=ln(4x)×\dfrac{1}{ln~x}×ln~x×\dfrac{1}{ln(3x)}

Posté par
matheux14
re : Limite de ln 05-02-21 à 17:17

Sylvieg @ 05-02-2021 à 13:49

Pour x > 0
ln(4x) = ln(x) ( ln(x) + ln(4) ) / ln(x) = ln(x) ( 1+ ... )

Idem avec ln(3x)


*ln(4x)=ln~x × \dfrac{ln~x+ln~4}{ln~x}

*ln(3x)=ln~x×\dfrac{ln~x+ln~3}{ln~x}

C'est à dire \dfrac{ln(4x)}{ln(3x)}=\dfrac{ln~x × \dfrac{ln~x+ln~4}{ln~x}}{ln~x×\dfrac{ln~x+ln~3}{ln~x}}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite de ln 05-02-21 à 17:46

Continue :
Simplifie par ln(x).

Et \; \dfrac{X + A}{X} = 1 + ... .

Posté par
matheux14
re : Limite de ln 05-02-21 à 18:13

Ok \dfrac{ln(4x)}{ln(3x)}=\dfrac{ln~x+ln~4}{ln~x+ln~3}=\dfrac{ln~x}{ln~x+ln~3}+\dfrac{ln~4}{ln~x+ln~3}

Posté par
matheux14
re : Limite de ln 05-02-21 à 18:25

\dfrac{ln(4x)}{ln(3x)}=\dfrac{ln~x+ln~4}{ln~x+ln~3}=\dfrac{\dfrac{ln~x+ln~4}{ln~x}}{\dfrac{ln~x+ln~3}{ln~x}}=\dfrac{1+\dfrac{ln~4}{ln~x}}{1+\dfrac{ln~3}{ln~x}}

Donc \lim_{x\to+\infty}\dfrac{ln(4x)}{ln(3x)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+\dfrac{ln~4}{ln~x}}{1+\dfrac{ln~3}{ln~x}}=1

Car \begin{cases} *\lim_{x\to+\infty}1=1 \\
 \\ 
 \\ *\lim_{x\to+\infty}\dfrac{ln~4}{ln~x}=0 ~ \text{et}~ \lim_{x\to+\infty}\dfrac{ln~3}{ln~x}=0~\text{car} \begin{cases} \lim_{x\to+\infty}ln~x=+\infty \\ \lim_{x\to+\infty}ln~3=ln~3 \\ \lim_{x\to+\infty}ln~4=ln~4 \end{cases}\end{cases}

\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{ln(4x)}{ln(3x)}=1}

Merci.

Posté par
hekla
re : Limite de ln 05-02-21 à 18:31

Juste une petite remarque sur l'écriture de  \ln  il faudrait l'écrire \ln  pour respecter les notations.



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