Bonjour,
Quand on parle de limite pour une suite (u_n), on s'intéresse à ce qui se passe pour de grandes valeurs de n.
Ce qui se passe pour n = 8 ou même n = 2022 n'a pas d'importance.

Que veux-tu dire par ceci ?

Si , il est inutile de factoriser. C'est déjà fait.

Point n°1 : quand on s'intéresse à la limite d'une suite, on s'intéresse aux valeurs de n très grandes, n=1Million, 1 milliard... et plus grand encore.
En regardant ce qui se passe pour les petites valeurs de n, ça peut donner une idée, mais pas toujours.

Point n°2 : Quand tu écris : jusqu'à U₈, elle tend vers + l'infini, je vois vaguement ce qui te fait dire ça, mais c'est un énorme abus de langage. C'est faux de dire que cette suite tend vers + l'infini jusqu'à U₈.  Même si tu trouves des nombres comme +50 ou +100, peu importe.

Jusqu'à n=8, ou même jusqu'à n=100, on a 100 valeurs. On peut calculer toutes ces 100 valeurs, une par une.
Le verbe 'Tendre vers' n'a donc pas vraiment de sens dans ce contexte.
Le verbe tendre, il s'utilise quand on a tellement de valeurs à calculer, que c'est impossible. Il s'utilise quand on a une infinité de valeurs à calculer.

Tu fais probablement une confusion avec un autre contexte, les études de fonction. La fonction f(x)= -1/(x-8) par exemple.
Pour cette fonction, on va dire que la fonction tend vers +infini quand x tend vers 8 à gauche.
Parce que si on remplace x par 7.99 ou 7.99999 ou 7.9999999, on a des valeurs de plus en plus grandes pour f(x).
Mais là aussi, on a plein de valeurs à calculer  , 7.99998, 7.99999997,  7.99999999999  . C'est impossible de les calculer toutes, on parle donc de limite.
Quand on peut les calculer toutes (1000 calculs, c'est possible), on ne parle pas de limite, ni du verbe tendre.