Niveau terminale

Limite de suite, FI

Posté par
yns91 31-07-20 à 19:11

Bonjour l'ile !

Je n'arrive pas à trouver la limite de la suite suivante :
$u_n=(\frac{ln(n-1)}{ln(n)})^n$ définie pour tout entier naturel n non nul.

Ce que j'ai fait du coup:

Je vois que à la calculatrice la limite de ln(n-1)/ln(n) vaut 1.
Et la suite (v_n) définie par v_n=n tend vers + infini lorsque n tend vers + infini.

On a une forme indeterminée du type 1^infini.

Sauf que il y'a une autre forme indéterminée... si on considère (w_n) défnie pour n>0 par w_n=ln(n-1)/ln(n)
On a un quotient de deux expressions qui tendent vers +infini (donc forme indéterminée)

Comment je procède pour ces formes indéterminées ?

Merci d'avance

Posté par re : Limite de suite, FI 31-07-20 à 19:19

1 - je dois prouver que lim de ln(n-1)/ln(n) quand n tend vers +infini vaut 1 ( il faut lever l'indétermination )

2 - je dois ensuite lever l'indétermination pour u_n (FI de type 1^infini)

Car lim (n) lorsque n tend vers + infini = + infini (logique )

Posté par re : Limite de suite, FI 31-07-20 à 19:58

salut

$\ln (n - 1) = \ln n + \ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)$

donc $\ln u_n = n - \dfrac {\ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)} {- \dfrac 1 n} \times \dfrac 1 {\ln n}$

Posté par re : Limite de suite, FI 31-07-20 à 20:03

carpediem @ 31-07-2020 à 19:58

salut

$\ln (n - 1) = \ln n + \ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)$

donc $\ln u_n = n \ln \left[ 1 + \dfrac {\ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)} {\ln n}\right]$

Posté par re : Limite de suite, FI 31-07-20 à 20:18

carpediem @ 31-07-2020 à 20:03

$\ln (n - 1) = \ln n + \ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)$

donc $\ln u_n = n \ln \left[ 1 + \dfrac {\ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)} {\ln n}\right] \red = -\dfrac 1 {\ln n} \times \dfrac {\ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)} {- \dfrac 1 n} \times \dfrac { \ln \left[ 1 + \dfrac {\ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)} {\ln n}\right]} {\dfrac {\ln \left(1 - \dfrac 1 n \right)} {\ln n}}$

et cette fois il n'y a plus de FI ...

c'est un exercice bien dur en terminale donc je te donne le calcul mais je n'explique rien pour l'instant et te laisse vérifier et justifier que ce que j'ai fais permet de conclure

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