Bonjour,

J'ai un exercice que je n'arrive pas à boucler , qui est le suivant:

On considère la fonction f sur R, f(x)= ln(1+e^-x), et la suite Sn (n>=1) définie par S_n=
ln(1+(1/e))+ln(1+(1/e²))+...+ln (1+e^-n).
a. Montrer que (1-e^-n)/(e-1) -(1/2)*(1-e^-2n)/(e²-1) <= Sn <= (1-e^-n)/(e-1)
b. On suppose que la suite Sn admet une limite réelle L.
Montrer que |L- (1/e-1)|<= (1/2(e^2n-1))

Pour ce qui est de la question a, j'ai utilisé les résultats de la première partie de l'exo (que je n'ai pas retranscrite), qui stipule que pour tout t réel positif, t-t²/2<= ln(1+t) <= t, avec t= e^-x et les propriétés des sommes des termes de suites géométriques ( de raison 1/e et 1/e² respectivement.)

Mais la question b me pose une véritable colle: dois-je utiliser le théorème des gendarmes, et bidouiller avec les propriétés des inégalités? Je ne cherche pas une réponse à la question b, mais plutôt un endroit par où commencer...

Car si Sn tend vers L, nécessairement (1-e^-n)/(e-1) -(1/2)*(1-e^-2n)/e²-1) tend aussi vers L (or pour n-->+oo, j'obtiens une limite égale à (1/e-1) -0.5* (1/e²-1))
et (1-e^-2n)/(e²-1) tends aussi vers L, or pour n-->+oo, j'obtiens une limite égale à 1/e²-1 ....)


Merci de m'avoir lue!