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Limite de (Un+1)/(Un)

Posté par
Manga2 31-07-13 à 15:27

Salut tout le monde,
Soit (un) une suite numérique tel que \lim_{n\to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=l (l)

Montrez que |l|<1\lim_{n\to +\infty} u_n=0

Mon idée était de prendre pour tout n, vn=\frac{u_{n+1}}{u_n} et la définition de la convergence de cette limite qu'est:
>0,N,n,nN|vn-l|<
Ce qui implique que \frac{1}{l+\epsilon}<\frac{1}{v_n}<\frac{1}{l-\epsilon} en prenant <l puis essayer de trouver que un est comprise entre deux choses dont la limites en +\infty est 0 mais il paraît que ça ne mène à rien. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?

Merci!

Posté par
pythre : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 15:32

plus simple :
on suppose que Un converge tend vers a non nul alors Un+1/Un tend vers 1

donc si Un converge, Un+1/Un ne tend pas vers 1 implique Un tend vers 0

Ici, Un converge mais pas vers 1

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 15:57

Merci de répondre!
Néanmoins je pense qu'il y a une erreur dans ton raisonnement. Comme contre exemple soit u_n=2^{n}\times n^2

On a \lim_{n\to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} =2 et 21 et pourtant \lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty elle ne converge même pas.

Tout est dans ton implication:  Un converge tend vers a non nul alors Un+1/Un tend vers 1
Tu as posé cette implication car un et un+1 sont égaux quand n+ donc t'as pensé que si elle ne converge pas vers 0 alrs leur quotient converge vers 1 (puisqu'ils sont égaux). Mais ton erreur était là: " si elle ne converge pas vers 0 alrs leur quotient converge vers 1"
En fait t'as oublié un autre cas possible. Regarde:

\lim_{n\to +\infty} u_n 0a\mathbb{R}^{*}, \lim_{n\to +\infty} u_n =a OU \lim_{n\to +\infty} u_n =

Bien sûr, dans ta réponse tu as cité "on suppose que Un converge" mais justement tu ne peux pas supposer cela puisque dans l'exercice ils ne l'ont pas mentionné. En tout cas je t'ai donné un contre exemple.

Néanmoins merci pour ta réponse!

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 16:06

Rebonjour

Pour simplifier je te donne les indications pour une suite à termes positifs. Alors 0 \leq \ell < 1. Il existe a tel que \ell < a < 1. En prenant \varepsilon = a-\ell, tu montres qu'à partir d'un certain rang N, tu as u_{n+1}/u_n \leq a, puis par récurrence que pour n > N, tu as u_n \leq a^{n-N}u_N

Posté par
pythre : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 17:12

c'est un joli exemple que tu as trouvé mais sa ne change pas ce que j'avais dis car j'ai precisé

Citation :
on suppose que Un converge tend vers a non nul alors Un+1/Un tend vers 1

donc si Un converge, Un+1/Un ne tend pas vers 1 implique Un tend vers 0

j'ai bien dit que l'implication est valable si la suite converge ce qui est le cas dans ton ennoncé puisqu'on dit bien qu'elle converge vers l

Posté par
pythre : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 17:14

ah non tu as raison j'ai mal lu ton ennoncé c'est pas Un qui converge vers l
Desolé

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 18:01

pyth: lol ça arrive ^^
Camélia:Merci pour l'indication. J'ai trouvé grâce à elle la démonstration. Je vais la poster, juste le temps que je rédige le tout.

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 18:48

pyth:en fait dans l'exercice ils ont donné un=\frac{n^{2000}}{2^n} comme exemple de l'implication. Pour cette suite la limite de \frac{u_{n+1}}{u_n} était 1/2 jme suis débrouillé pour la rendre 2, et c parce que la deuxième question de l'exercice était de démontrer que si |l|>1 alrs la suite divergeais.
Camélia: je re pour la démonstration ^^

On a >0 N>0 n, nN|\frac{u_{n+1}}{u_n}-l|<  car \lim_{n\to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=l

Si 0l<1:

Soit <l de sorte que l+<1, alrs 0<l-
(n)
Donc nN, 0<l-<\frac{u_{n+1}}{u_n}<l+

Puisque nN, 0<\frac{u_{n+1}}{u_n} alrs nN, un0
on a donc: \frac{u_n}{u_N}=\frac{u_n}{u_{n-1}} \times \frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}... \times \frac{u_{N+1}}{u_N}

On conclue donc que 0<\frac{u_{n}}{u_N}<(l+\varepsilon )^{n-N}

Puisque l+<1 alrs \lim_{n\to +\infty} (l+\varepsilon )^{n-N}=0

Et donc \lim_{n\to +\infty} \frac{u_n}{u_N}=0
Puisque uN0 alrs \lim_{n\to +\infty} u_n=0

Si -1<l0:

Soit <-l
de même: l-<\frac{u_{n+1}}{u_n}<l+<0

donc 0<-\frac{u_{n+1}}{u_n}<-l

De même: (-1)^{n-N}\times \frac{u_n}{u_N}=(-\frac{u_n}{u_{n-1}}) \times (-\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}})... \times (-\frac{u_{N+1}}{u_N})

Si n-N est pair:
On a alrs 0<\frac{u_n}{u_N}<(\varepsilon -l)^{n-N}

Si n-N est impair:
On a alrs (l-\epsilon )^{n-N}<\frac{u_n}{u_N}<0

Même méthode: on trouve finalement que \lim_{n\to +\intfy} u_n=0

Encore merci pour votre participation vous deux!

Posté par
pythre : Limite de (Un+1)/(Un) 31-07-13 à 22:17

alors litteralement "de rien"

Citation :
Soit <l de sorte que l+<1, alrs 0<l-

je suis pas trop d'accord
prends l=0.4 et epsilon=0.5
on a l+epsilon<1 mais pas 0<l-epsilon

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 01-08-13 à 12:42

Il paraît que tu n'as pas bien compris la définition de la limite.
Regarde ça:
Dans l'image, équivaut au N dans
Bon pour parler en cas générale (fonction plutôt que suite): cette définition signifie qu'à chaque fois que tu prends un trop petit, il existe un N trop grand qui vérifie l'équivalence précédente.
J'ai donc le choix de prendre un aussi petit que je veux. Alors j'ai choisi particulièrement les >0 qui sont:
1)Plus petits que l. Mais ce n'est pas suffisant: l=0.9 et =0.2 alrs l+>1 ce qui ne vas pas rendre la limite nulle.
2) Qui vérifie l+<1 et donc si on a l=0.9, tous les ]0;0.1[ le vérifient.

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 01-08-13 à 12:45

Oula j'ai mal choisi l'image: on parle plutôt de limite nulle en infini. Par exemple:

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 01-08-13 à 12:50

Ah non mais que m'arrive-t-il? Limite FINI en infini: généralement c \lim_{x\to +\infty} f(x)=l (l) et c'est le cas:

\lim_{n\to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=l

Par exemple si l=2:

Voir ici pour une meilleur explication:

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de (Un+1)/(Un) 01-08-13 à 15:48

> Manga2 C'est OK. Pour -1 < \ell < 0 il suffit de dire qu'on sait déjà que |u_n| tend vers 0, donc qu'il en est de même pour u_n

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 02-08-13 à 00:23

Merci, mais quelle est la relation entre le fait que -1<l<0 et |un| tend vers 0 donc de même pour un?

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de (Un+1)/(Un) 02-08-13 à 14:47

Si \ell < 0 et si v_n tend vers l, alors |v_n| tend vers |\ell| (attention, réciproque fausse) et tu te retrouves dans le cas déjà étudié!

Posté par
Manga2re : Limite de (Un+1)/(Un) 02-08-13 à 14:52

Oui c'est vrai. Merci ^^


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