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limite en 0

Posté par
ahmad1997274 29-02-16 à 23:15

bonsoir
comment trouver la limite de (-16) * [(1-cos x) / x^2 ] l'orsque x tend vers 0 ?
merci d'avance

Posté par re : limite en 0 29-02-16 à 23:50

Posté par re : limite en 0 29-02-16 à 23:52

bonsoir : )

A ton niveau il existe plusieurs méthodes pour trouver cette limite : théorème des gendarmes, la règle de l'Hôpital, ou encore la méthode que je t'expose ci-dessous.

***

On démontre tout d'abord que $\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \sin'0 = \cos 0 = 1}$ .
Cette limite traduit le fait qu'on sait que la fonction sinus est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 est cos(0) = 1.

Rappelons-nous ensuite que $\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, \cos(2x) = 1 - 2\sin^2x}$ .

Posons $\boxed{L = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}}$ et effectuons le changement de variable suivant $X = \frac{x}{2}$ .

Nous avons alors $x = 2X$ et lorsque $x \to 0, X \to 0$ .

De plus $\large \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos(2X)}{4X^2} = \frac{2\sin^2 X}{4X^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin X}{X}\right)^2$ .

Ainsi, par passage à la limite : $\large L = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{X\to0}\frac{1 - \cos(2X)}{4X^2} = \frac{1}{2}\left[\lim_{X\to0}\left(\frac{\sin X}{X}\right)^2\right] = \frac{1}{2}$ ,

d'où finalement la limite cherchée $\boxed{ \lim_{x\to0} -16\frac{1 - \cos x}{x^2} = -16L = -8}$ .

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