Bonjour à tous, je me prépare pour ma classe prépa MP et y'a vraiment des questions de la mort. Par exemple comment determiner ce type de limite.
lim x->0 sin(2x)/3x
lim x->0 ln(1-x)/x
lim x-> +inf x * sin(1/x)
Voila merci d'avance.
ok donc la premiere limite est 2/3 maintenant pour la deuxieme on a ln(1-x)/x = ln(1-x)/1-x *1-x /x mais là on a un probleme c'est que ln'(0) n'est pas défini et on ne sait pas si on est sur 0+ ou 0- donc comment sortir de l'impasse ?
pour la 1ere, tu connais la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 (théoriquement c'est dans le cours).
Tu poses X=2x et tu obtiens :
daccord mais alors je comprend pas pourquoi pour la 1ere on devait faire apparaitre sin(2x)-sin(0) /2x -0 et non pas sin(2x) -sin (0) /x -0
Mais j'arrive pas à comprendre si tu pose f(x) = ln(1-x) dans ce cas f(x) - f(0) /x -0 = ln (1-x ) - ln(1-0) / 1-x -0 ???
Pour mieux comprendre j'aimerai savoir ce qu'on aurait eu si la fonction était cette fois-ci ln(3x +2) /x
ln(3x+2) /x = ln (3x+2) - ln(2) / x -0 ?
ba non puisque ln(2) est non nul
dans l'exemple f(x)=ln(1-x), l'astuce f(x)/x = (f(x)-f(0))/(x-0) fonctionn car f(0)=0
Une derniere question si on avait posé pour la 1ere limite f(x) = sin(2x) on aurait obtenu f(x) -f (0) / x-0 = sin (2x) / x et non sin(2x) / 2x
Je crois que plus je réfléchis et plus je membrouille
Pour la première limite on aurait forcé le calcul, c'est à dire qu'on aurait mis 2x au dénominateur, quitte à ajuster ensuite (comme je l'ai fait d'ailleurs )
La 3ème est assez semblable à la 1ere, un changement de variable et c'est bon.
Par contre, bravo guitou pour la 2eme. J'aurais pas pensé à faire apparaitre la dérivée de ln(1-x) ^^
Pour cette limite j'ai fais un raisonnement qui me parait correct mais qui graphiquement est faux.
lim x-> -1+ sin (2x)/ ln(1+x)
on a lim sin (2x) x-> -1+ = sin (-2) et lim x-> -1+ ln (1+x) = lim x->0+ ln(x) = -inf donc lim sin (2x) / ln (1+x) x-> -1+ = 0
Cependant graphiquement je trouve 2 où est mon erreur ?
Merci de ton aide
toujours la même chose... (j'ai compris le truc ^^)
Sin(2x)/sin(3x) =(sin(2x)/x)*(x/sin(3x))
D'une part : (sin(2x)-sin(2pi))/(x-pi)
Quand x--> pi, c'est la dérivée de la fonction sin(2x)
Oui mais pour ce type de limite on a fait apparaitre 2x au dénominateur j'en déduit que pour sin(3x) il faut faire apparaitre 3x au numérateur non ?
Si on fait apparaître 2x, c'est qu'on veut tomber sur qui tend vers 1, par le changement de variable
En revanche, en posant , on a directement . Comme f est dérivable en 0, la limite de vaut .
Donc en gros,
¤ soit tu fais apparaître la limite usuelle en ajustant au niveau des 2x, 3x etc.
¤ soit tu fais apparaître des nombres dérivés
Dans ce cas j'aimerais revenir sur deux choses.
Premierement lors du message d'hier pour la limite de sin(2x)/ln(1+x) tu obtien sin(2x)-sin(0)/x-0 * x-0 / ln(1+x) - ln(1)
pourquoi dans ce cas multiplier par 2 en haut et en bas pour faire apparaitre sin(X)/X alors que sans multiplier on avait la formule du nombre dérivé ?
Deuxiemement, pour cette limite on doit faire apparaitre f(x) - f (pi) / x -pi.
En se limitant pour le moment, a sin(2x) on a sin(2x) - sin (2pi) / x -0 mais pas x-pi ??
Voila, merci de votre aide tous les deux.
Merci en fait y'a rien de sorcier.
Bon alors pour finir ta limite on a
lim x-> pi f(x) -f(pi)/x-pi = sin'(2pi) = 2cos(2pi)= 2
De plus, lim x-> pi x-pi / g(x) -g(pi) = 1 / sin'(3pi) = 1/ 3cos(3pi) = -1/3
donc la limite sin(2x)/sin(3x) x-> pi = -2/3
Aprés petite verification graphique cela me semble effectivement le cas. Mais mon raisonement est il bon ?
J'en poste une petite derniere pour bien être sur que j'ai compris
lim x-> 0 (1- cos(x)) / x²
on a (1-cos(x)) /x² = -(cos(x) -1)/x *1/x
=cos(x) - cos(0) /x-0 *1/x
Or, lim x->0 cos(x) -cos(0)/x-0 = -sin(0) =0
Ah bah sniff sa marche pas
J'attend tes pistes précieuses
Maintenant oui cela me dis quelque chose.
Aurait-on pu utiliser cette règle pour toute les limites précédentes dans lesquelles le numerateur et dénominateur tendé tous les deux vers 0 lorsque x->a
?
Pour cette limite, on pose f(x) = 1-cos(x) (f(0)=0)
et g(x) = x² (g(0)=0)
Donc lim x->0 f(x)/g(x) = lim x->0 sin(x) /2x = cos(0)/2 = 1/2
Etant donné que c'est la premiere fois que j'utilise cette règle j'aimerai savoir si ma rédaction est correct.
Merci pour votre aide.
Bonjour misto
pas la peine d'aller chercher la règle de l'Hopital (en terminale on ne voit pas ça!)
momo4735 > D'abord sache que c'est une jolie limite
¤ Première méthode :
En écrivant (obtenu grâce à la formule , on a :
En posant , on a facilement
Donc et
¤ Deuxième méthode :
En posant on montre aisément que . Donc on prolonge f par continuité en 0 en posant
Regardons maintenant .
Le taux d'accroissement de f en 0 vaut :
Et finalement
¤ Troisième méthode : développement limité
En écrivant, au voisinage de 0 : ,
on a
et d'où
¤ Quatrième méthode : Règle de l'Hôpital
Enoncé simple :
Mais t'as pas besoin de cette règle : regarde ce qu'on a fait et la démonstration de cette règle de l'hopital : on a toujours utilisé la démonstration pour établir nos résultats.
Continue comme ca, et ca sera excellent à coup sur.
Euh c'est normal que la 3eme méthode j'ai rien compris ? c'est quoi ce mini symbole ressemblant a un o ?
Merci beaucoup pour votre aide
Donc en fait la méthode à ma portée est la 2 car la 1 elle était beaucoup trop subtile pour moi. Pour la 2 il fallait aussi savoir que si lim x-> 0 f(x) =0 alors on peut poser f(0)=0
Quoi qu'il en soit je vous remercie tous beaucoup
Je pense que les deux premières sont les méthodes attendues en terminale
La première fait appel à de la trigo, et en prépa les formules de trigo élémentaires sont fondamentales, ne les oublie pas
Petit probleme pour la deuxieme methode f'(x) n'est pas définie en 0.
j'ai trouvé sin(x)/x -1/x² + cos(x)/x = f'(x)
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