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Niveau terminale
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Limite fonction ln

Posté par
Zubish
22-01-17 à 18:48

Bonsoir à tous,

je n'arrive pas à trouver la limite en + de la fonction f(x)= ln (x^{2} + 4) - x

en factorisant, en mettant sous la forme ln a - ln b je tombe toujours sur une forme indeterminée.. je suis sûr que c'est un truc tout bête mais je vois pas,

Merci d'avance

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 18:51

Bonsoir,
Ta methode de factorisation me parait bien etrange!!
Met x2en facteur et applique un resultat de cours

Posté par
Zubish
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 18:58

Comment ça  x^{2} en facteur ?

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:00

fais apparaitre ln(x2+4)/x2 et tu auras la formule du cours

Posté par
vham
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:04

Bonsoir,

en + x2+4 est équivalent à x2,
Ln(x2) est alors équivalent à 2Ln(x)
Se rappeler :
en + une exponentielle surpasse toute puissance de x, et une puissance de x surpasse tout produit de Ln(x)

solution donc - sans aucune réticence.

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:09

Bonsoir Vham ,
Ce que tu dis est juste mais c'est gênant de parler de "surpasser" ....

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:10

le cours de terminale donne la limite de ln(xn)/xn

Posté par
Zubish
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:11

Ah oui j'avais pas pensé à ça vham, mais je comprend pas parce que même en mettant ln (x2) = 2 ln x , il ya toujours une forme indeterminée du type - + et je comprend pour la supériorité de x par rapport à ln mais je dois le démontrer je peux pas me contenter d'écrire "x surpasse ln" si ?

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:13

Zubish @ 22-01-2017 à 19:11

Ah oui j'avais pas pensé à ça vham, mais je comprend pas parce que même en mettant ln (x2) = 2 ln x , il ya toujours une forme indeterminée du type - + et je comprend pour la supériorité de x par rapport à ln mais je dois le démontrer je peux pas me contenter d'écrire "x surpasse ln" si ?

Utilise ce que je t'ai ecrit

Posté par
Zubish
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:15

Désolé du double post mais j'avais pas vu le message de philgr22 ci dessus, et j'ai pas vu cette formule de lim de ln(xn)/xn dans mon cours..

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:16

Es tu bien sûr? Verifie

Posté par
vham
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:18

Citation :
je dois le démontrer je peux pas me contenter d'écrire "x surpasse ln" si ?


Je vous donne un résultat (une aide condensée bien utile) du cours, bien que je ne sache pas à quel cours philgr22 (que je salue) fait référence.
en plus la dérivée de cette fonction est toujours négative....

Posté par
vham
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:19

Bien sûr, philgr22 a le dernier mot en tant que Professeur...

Posté par
Zubish
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:20

Ah si mais j'ai \frac{ln x}{x} sans les puissances qui tend vers 0 en + donc d'accord je vois un peu mieux mais pour mettre sous cette forme je fais comment vu qu'il n'y a pas d'égalité?

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:20

Zubish est en term s et on n'admet pas ce resultat dans les programmes de terminale

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:22

Zubish @ 22-01-2017 à 19:20

Ah si mais j'ai \frac{ln x}{x} sans les puissances qui tend vers 0 en + donc d'accord je vois un peu mieux mais pour mettre sous cette forme je fais comment vu qu'il n'y a pas d'égalité?

ln(x) = x (ln(x))/x
Es tu d'accord ?
Tu adoptes la meme methode

Posté par
Zubish
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:26

vham @ 22-01-2017 à 19:18

Citation :
je dois le démontrer je peux pas me contenter d'écrire "x surpasse ln" si ?


Je vous donne un résultat (une aide condensée bien utile) du cours, bien que je ne sache pas à quel cours philgr22 (que je salue) fait référence.
en plus la dérivée de cette fonction est toujours négative....


Oui je vois mais apres j'avais intuitivement compris que la fonction tend vers -  aussi, et c'est pas parce que la fonction est strictement decroissante qu'elle tend vers - nécéssairement

philgr22 @ 22-01-2017 à 19:22

Zubish @ 22-01-2017 à 19:20

Ah si mais j'ai \frac{ln x}{x} sans les puissances qui tend vers 0 en + donc d'accord je vois un peu mieux mais pour mettre sous cette forme je fais comment vu qu'il n'y a pas d'égalité?

ln(x) = x (ln(x))/x
Es tu d'accord ?
Tu adoptes la meme methode


Oui niquel j'ai compris c'est bon merci beaucoup !

Posté par
Jedoniezh
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:28

Bonsoir,

\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[\ln(x^2+4)-x \right]=\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[\ln x^2-x \right]=\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[2\ln x-x \right]

=\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[x\left(\underbrace{\dfrac{2\ln x}{x}}_{\to 0}\quad-1 \right) \right]=\Limits\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty \\\\

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:29

vham @ 22-01-2017 à 19:19

Bien sûr, philgr22 a le dernier mot en tant que Professeur...

L' habitude est qu'on compare d'abord lnx à x , ce qui permet de donner la limite de ln(x)/x puis 'en deduire celle de ln(xn)/xn pour le niveau terminale

Posté par
Zubish
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:30

Ah non en fait, si j'ai bien compris je suis censé faire ça non ?

ln ( x^{2} + 4 ) - x = x^{2} * \frac{ln (x^{2}+4)}{x^{2}} - x

mais même en faisant ça on a un + * 0

Posté par
Jedoniezh
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:32

Voir à 19:28

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:34

tu as x = x2(1/x)

Posté par
Zubish
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:34

Jedoniezh @ 22-01-2017 à 19:28

Bonsoir,

\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[\ln(x^2+4)-x \right]=\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[\ln x^2-x \right]=\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[2\ln x-x \right]

=\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[x\left(\underbrace{\dfrac{2\ln x}{x}}_{\to 0}\quad-1 \right) \right]=\Limits\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty \\\\


ça pouvait pas être plus clair, je l'avais pas vu comme ça en fait, merci beaucoup

Posté par
vham
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:36

Bonsoir,

@ philgr22 :

Citation :
on n'admet pas ce résultat dans les programmes de terminale

Si vous saviez quel horreur cette phrase fait à des vieux comme moi qui ont vu les programmes changeants depuis 60 ans....(même si des méthodes nouvelles ont une bonne et belle valeur)
Toute preuve est une preuve et aucune raison ne doit brider la possibilité de la présenter !

Il y a aussi des méthodes qui font penser au marteau-pilon pour écraser une mouche...
et pardonnez-moi si je suis excessif  

Posté par
Jedoniezh
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:38

Conserver en mémoire la remarque ci-dessus de vham, à savoir :

Citation :
en + une exponentielle surpasse toute puissance de x, et une puissance de x surpasse tout produit de Ln(x)

Posté par
philgr22
re : Limite fonction ln 22-01-17 à 19:39

Je comprends tout à fait cette reaction mais d'un autre côté il est toujours bon d'expliquer le pourquoi .....c'est ce qu'on appelle faire des maths , ne serait ce que pour s'entrainer de maniere à avoir de l'acquis pour avancer ensuite

Posté par
vham
re : Limite fonction ln 23-01-17 à 11:23

Bonjour,

@ philgr22 : J'admets que pour cet exercice il était demandé de "démontrer" en application du cours.....pour entrainer l'acquis que Jedoniezh propose ci-avant de conserver en mémoire.
Mais en seconde on trouve aussi :

Citation :
Ce que je n'ai pas compris c'est comment passer de  a²-(a/2)²  à  (3a²/4)
D'où viennent ce 3 et ce 4?

On se demande alors : qu'est-ce qu'on appelle faire des maths ? Comment est donné l'acquis pour avancer ?

Posté par
lake
re : Limite fonction ln 23-01-17 à 13:03

Bonjour,

Ceci:

Citation :
\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[\ln(x^2+4)-x \right]=\Limits\lim_{x\to+\infty}\left[\ln x^2-x \right]


n' est pas accepté en Terminale et au Bac.

Ce qui est autorisé, c'est d' utiliser les limites du cours, à savoir ici:

   \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln\,x}{x}=0

  \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(1+h)}{h}=1

et les théorèmes sur les sommes / produits et compositions de limites.

par exemple pour x>0:

  \ln\,(x^2+4)-x=x\left(2\,.\,\dfrac{\ln\,x}{x}+\dfrac{4}{x^3}\,.\,\dfrac{\ln\,\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{\frac{4}{x^2}}-1\right)

Posté par
vham
re : Limite fonction ln 23-01-17 à 17:51

Bonsoir,

je m'étais justement dit que nous avions été laxistes pour la limite de Ln(x2+4)

Faut-il vraiment développer à l'écrit du Bac :
Ln(x^2+4)=Ln\left(x^2(1+\dfrac{4}{x^2})\right)=Ln(x^2)+Ln\left(1+\dfrac{4}{x^2}\right)
juste pour DÉMONTRER que Ln(x^2+4)\ \text{équivaut à}\ Ln(x^2)\ quand\ x\ tend\ vers\ \infty  ?

Alors je comprends mieux le niveau du secondaire français en mathématiques.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Limite fonction ln 23-01-17 à 18:12

Poser x²+4 = y² (pour x et y > 0) et donc si x-->+oo, alors y --> +oo

ln(x²+4) - x = ln(y²) - V(y²-4) = y * (ln(y²) - V(y²-4))/y = y * (2.ln(y)/y - (V(y²-4))/y)

lim(y--> +oo) (ln(x²+4) - x) = lim(y--> +oo) [y * (2.ln(y)/y - (V(y²-4))/y)]
=  lim(y--> +oo) [y * (2.ln(y)/y - y.V(1 - 4/y²))/y)]  
=  lim(y--> +oo) [y * (2.ln(y)/y - V(1 - 4/y²))]  = oo * (2*0 - 1) = -oo

Sauf distraction.  

Posté par
lake
re : Limite fonction ln 23-01-17 à 18:16

>>vham

En fait, je suis allé chercher midi à 14h;

C' est beaucoup plus simple comme tu l' as écrit:

 \ln(x^2+4)-x=x\left(2\,\dfrac{\ln\,x}{x}+\dfrac{\ln\left(1+\frac{4}{x^2}\right)}{x}-1\right)

Mais à la question:

  

Citation :
juste pour DÉMONTRER que Ln(x^2+4)\ \text{équivaut à}\ Ln(x^2)\ quand\ x\ tend\ vers\ \infty  ?


la réponse est oui en te prenant au pied de la lettre pour une excellente raison: la notion d' équivalent n' est pas abordée au lycée.

Et comme tu l' entends, ton "équivaut" fait bien appel à cette notion d' équivalent.
Sans parler d' une somme d' équivalents qui peut amener bien des erreurs...

Posté par
Jedoniezh
re : Limite fonction ln 24-01-17 à 19:11

Citation :
la notion d' équivalent n' est pas abordée au lycée.


... alors on prend la calcu.

Posté par
lake
re : Limite fonction ln 24-01-17 à 21:51

Ben non, on fait par exemple comme au dessus à 18:16

Posté par
Jedoniezh
re : Limite fonction ln 24-01-17 à 21:53

Oui, donc on finit par prendre la calcu, et à ne plus rien comprendre.
Mais au moins, on suit le programme.

Posté par
lake
re : Limite fonction ln 24-01-17 à 21:56



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