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Limite, Ln, récurrence

Posté par
Reofly49
28-12-20 à 11:15

Bonjour, j'ai un exercice à rendre pour la rentrée et je n'y arrive pas du tout ! Pouvez-vous m'aider ? Je vais d'abord mettre toutes les infos que j'ai par rapport à l'énoncé de l'exercice ainsi que mes résultats précédents.

Infos :
. f(x) = ln(1+x) - x (fonction décroissante sur N)
. g(x) = ln(1+x)-x+(1/2)*x2 (fonction croissante sur N)
. x-(1/2)*x2 <= ln(1+x) <= x
. une suite (un) tel que un = (1+(1/n2))*(1+(2/n2))*...*(1+(n/n2)
. une suite (vn) tel que vn = ln(un) pour tout n >= 1
. 12+22+...+n2 = (n*(n+1)*(2n+1))/6 ; pour tout n>0

Voici la question :
En utilisant les questions précédentes, montrer que, pour tout entier naturel n non nul:
(1/2)*(1+(1/n))-((n+1)*(2n+1)/12n3) <= vn <= (1/2)*(1+(1/n))

Je ne sais pas si tous les résultats que j'ai mis plus haut vous serviront mais on sait jamais.
Merci d'avance pour votre aide !


***@Reofly49 : Le site a détecté un multicompte***Situation à régulariser***cf Q29 de la FAQ : [lien]

Posté par
Reofly49
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 11:20

Attention ! J'ai corrigé le sujet du dessus car les puissances ne s'affichaient pas. Merci de prendre en compte ce message

Bonjour, j'ai un exercice à rendre pour la rentrée et je n'y arrive pas du tout ! Pouvez-vous m'aider ? Je vais d'abord mettre toutes les infos que j'ai par rapport à l'énoncé de l'exercice ainsi que mes résultats précédents.

Infos :
. f(x) = ln(1+x) - x (fonction décroissante sur N)
. g(x) = ln(1+x)-x+(1/2)*x2 (fonction croissante sur N)
. x-(1/2)*x2 <= ln(1+x) <= x
. une suite (un) tel que un = (1+(1/n2))*(1+(2/n2))*...*(1+(n/n2)
. une suite (vn) tel que vn = ln(un) pour tout n >= 1
. 12+22+...+n2 = (n*(n+1)*(2n+1))/6 ; pour tout n>0

Voici la question :
En utilisant les questions précédentes, montrer que, pour tout entier naturel n non nul:
(1/2)*(1+(1/n))-((n+1)*(2n+1)/12n3) <= vn <= (1/2)*(1+(1/n))

Je ne sais pas si tous les résultats que j'ai mis plus haut vous serviront mais on sait jamais.
Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 11:22

Bonjour, utilise x-x²/2 < ln(1+x) < x avec x = k/n² et ajoute toutes les inégalités membre à membre, tu trouveras un encadrement de Vn

Posté par
Reofly49
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 11:36

Merci de la réponse mais je n'arrive pas à comprendre. Pourquoi x=k/n2 ?

Si je suis votre raisonnement on a :

(k/n2)-(1/2)*(k/n2)2<= ln(1+(k/n2))<= (k/n2)

Mais avec ça je ne vois pas comment arriver à l'encadrement voulu

Posté par
Glapion Moderateur
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 11:41

Citation :
Pourquoi x=k/n2


on a U_n=\prod_{k=1}^n(1+\dfrac{k}{n^2}) et donc V_n=\sum_{k=1}^n ln(1+\dfrac{k}{n^2}) donc il est logique d'encadrer les termes de la somme
avec x= k/n², non ?

Ensuite, tu ajoutes toutes les inégalités membre à membre.

Posté par
Reofly49
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 11:53

Je comprend l'idée mais ce n'est pas aussi logique pour moi. Du coup ce que j'ai écrit plus tôt est bon ?
Si oui alors je ne sais pas comment aboutir au résultat final sachant que je ne dois pas avoir de k. Que voulez vous dire par " ajoute toutes les inégalités membre à membre" ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 12:02

tu écris ces inégalités pour k = 1 puis k=2, etc ... jusqu'à k=n les unes en dessous des autres et tu les ajoutes toutes membre à membre. Au centre tu aura bien Vn, OK ? il te restera à calculer les sommes à gauche et à droite en utilisant les formules données dans l'énoncé 1+2+...+n = n(n+1)/2 et 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

Posté par
Reofly49
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 12:19

Ok merci beaucoup j'ai compris ! J'ai donc trouvé le bon résultat pour la partie centrale et la partie droite de l'inégalité mais j'ai quelques difficultés sur la partie gauche. Est-ce que ça vous dérangerait de juste me détaillé le calcul de la partie gauche dans le cas où k = 1 ?

Désolé d'abuser de votre temps mais ce serait pour voir à quoi je dois aboutir pour chaque ligne. Je pense que je serai en mesure après d'ajouter les lignes entre elles.

Posté par
Reofly49
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 12:21

Pour rappel la partie gauche vaut à l'origine :

x - (1/2)*x2

Posté par
Reofly49
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 12:32

C'est bon j'ai réussi ! Désolé j'aurai mieux fait de plus creuser avant de demander. Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Limite, Ln, récurrence 28-12-20 à 12:32

pour k = 1 x-(1/2)*x² ln(1+x) donne avec x = 1/n²

1/n²-1/(2n²) ln(1+1/n²) puis k =2
2/n² -4/(2n²) ln(1+2/n²)
etc ............
n/n² -n²/(2n²) ln(1+n/n²)
________________________________________________________________
(1+2+...+n)/n² - (1+2²+...+n²)/(2n²) Vn

______________

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