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Limite sup dans un espace mesuré

Posté par
H_aldnoer 30-09-07 à 02:14

Bonsoir!

je poste cet exercice car je ne comprend pas grand chose en intégration !

Soit (X,\mathcal{A},u) un espace mesuré.
On considère une suite (A_n)_n d'éléments de \mathcal{A} telle que \Bigsum_{n=0}^{\infty}u(A_n)<\infty.
Montrer que u(\bar{lim}(A_n))=0

(indication : \bar{lim}(A_n)=\bigcap_{n\ge0}\bigcup_{p\ge n} A_p)
Merci d'avance!

Posté par
Cauchyre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 02:20

Bonsoir,

plus qu'une indication c'est la définition

En gros essaie d'utiliser que la mesure d'une union est majorée par la somme des mesures et que le reste d'une série convergente tend vers 0.

Posté par
ottore : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 02:30

Salut,
c'est le théorème de Borel-Cantelli, en gros ça te dit que l'ensemble des x qui se trouvent dans un nombre infini de A_n est de mesure nulle.

En d'autre termes, presque tout x n'apparait que dans un nombre fini de A_n.

Tu trouveras surement une démo sur wikipedia ou dans le livre de Walter Rudin, Real and complex analysis (Chapitre 2 je crois).

a+

Posté par
ottore : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 02:31

Au passage, salut Cauchy, toujours sur le forum à des heures pas possibles ...

Posté par
Cauchyre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 02:45

Salut otto,

oui je viens de rentrer je fais un petit tour sur le forum

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 10:05

Salut vous deux!

u(\bar{lim}(A_n))=u(\bigcap_{n\ge0}\bigcup_{p\ge%20n}%20A_p)

je voudrais bien le majoré, mais je fais quoi de l'intersection ?
otto je ne possède pas ce bouquin et sur wikipédia il y a juste l'énoncé du théorème!

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 11:37

Bonjour à tous

H_aldnoer > utilise un résultat du cours concernant la mesure d'une intersection décroissante de mesurables.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 11:46

Il faut alors montrer que B_n=\bigcup_{p\ge n} A_p est une suite décroissante ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 11:47

oui.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 11:52

B_{n+1}-B_n=A_n ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 11:56

non, pas nécessairement.
revient à la définition de la décroissance d'une suite d'ensembles.
Que faut-il montrer ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 11:58

Bah oui B_{n+1}\subset B_n !
C'est immédiat car p\ge n+1 pour B_{n+1} et p\ge n pour B_n

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 11:59

Effectivement, c'est décroissant, car on prend moins d'ensembles \Large{A_n}.

Sinon, cela suffit-il pour appliquer le résultat sur la mesure d'une intersection décroissante de mesurables ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:01

Alors :
u(\bigcap_{n\ge 0} B_n)=\lim_{n\to +\infty} u(B_n)

Puis :
u(B_n)=u(\bigcup_{p\ge%20n}%20A_p)\le\Bigsum_{n\ge p} A_p (\ge ou = ?)

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:01

ah oui il faut que u(X) soit fini !

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:05

premier message de 12h01 : c'est seulement inférieur ou égal (d'ailleurs, tu as oublié u). Il y aurait égalité si par exemple, les ensembles étaient disjoints.

deuxième message de 12h01 : C'est trop fort comme hypothèse. Ici, X est quelconque donc il n'y aucune raison que ce soit vrai.
On a une hypothèse plus générale concernant la suite mais qui a quand même rapport avec ce que tu dis.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:07

ok pour le premier message!

par exemple u(A_0) est fini ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:08

par exemple !
Plus généralement, il faut que l'un des éléments de ta suite soit de mesure finie.
Est-ce le cas ici ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:10

comme \Bigsum_{n=0}^{\infty}u(A_n)%3C\infty, il existe n_0 telle que u(A_{n_0})%3C\infty ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:11

oui (en fait, il sont tous de mesure finie) donc tu peux effectivement prendre \Large{n_0=0}

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:14

pourquoi ils sont tous de mesure finie ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:17

u est une application à valeurs positives donc pour tout k, \Large{u(A_k)\leq \Bigsum_{n=0}^{+\infty}u(A_n) < \infty}.

Par contre, je me suis trompé : il faut montrer que c'est l'un des \Large{B_n} qui est de mesure finie.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:20

Mais elle est passée ou l'union ?
Tu appelle A_k=\bigcup_{n} A_n ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:25

y'a pas d'union !
Voici ce que je dis :

\Large{\Bigsum_{n=0}^{+\infty} u(A_n)=u(A_k)+\Bigsum_{n=0\\ n\neq k}^{+\infty} u(A_n)}

or le deuxième terme est positif, donc on a l'inégalité de mon dernier message.

cela dit, ce n'est pas ça dont on a besoin. Il faut montrer \Large{u(B_n) < \infty} pour un certain n.

Par exemple, montre que \Large{u(B_0) < \infty}

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:30

ce n'est pas ce dont on a besoin mais encore une fois c'est parfaitement expliqué pour moi!

u(B_0)=u(\bigcup_{p\ge%200}%20A_p)\le \Bigsum_{p\ge0} u(A_p)<\infty

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:33

OK, c'est bon ça marche.
Ensuite ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:38

il existe un n=0 telle que u(B_n)<\infty, (B_n)_n étant décroissante, on utilise :
u(\bigcap_{n\ge%200}%20B_n)=\lim_{n\to%20+\infty}%20u(B_n)

or :
u(B_n)=u(\bigcup_{p\ge%20n}%20A_p)\le\Bigsum_{n\ge%20p}%20u(A_p)<\infty

il faut alors calculer :
\lim_{n\to +\infty} \Bigsum_{n\ge%20p}%20u(A_p) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:40

oui (avec plutôt p supérieur à n ).

Est-ce que c'est difficile de calculer cette limite ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:43

On a \Bigsum_{p\ge%20n}%20u(A_p)<\infty donc la série \sum u(A_p) converge ?

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:45

\Bigsum_{p\ge%20n}%20u(A_p) est-t-il le reste de la série ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:50

oui, c'est le reste de la série, et donc ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:51

il tend vers 0 c'est fini!

Posté par
H_aldnoerre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:51

Bon beh encore merci, kaiser président ?
:p

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:51

eh oui !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Limite sup dans un espace mesuré 30-09-07 à 12:52


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