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Limite supérieure et limite inférieure d'une suite

Posté par
Yona07 21-11-21 à 21:44

Bonjour!

Soit (u_n)_{n\geq0} une suite bornée. On définit les suites (v_n)_{n\geq 0} et (w_n)_{n\geq 0} par:

v_n=\sup\{u_k; k\geq n\} et w_n=\inf\{u_k; k\geq n\}.

1. Montrer que (v_n)_{n\geq 0} (resp.((w_n)_{n\geq 0}) est décroissante (resp. croissante) et que pour tout n:

w_n \leq u_n \leq v_n.

2.Montrer que (v_n)_{n\geq 0}  et (w_n)_{n\geq 0} sont convergentes et que:

\lim_{n\rightarrow +\infty}\sup(u_n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} v_n= \inf(v_n)_{n\geq 0} et  \lim_{n\rightarrow +\infty}\inf(u_n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} w_n= \sup(w_n)_{n\geq 0}.

3. Montrer que la suite (u_n) est convergente si et seulement si:

\lim_{n\rightarrow +\infty} \sup(u_n)= \lim_{n\rightarrow +\infty} \inf(u_n).

J'enverrai ce que j'ai fait dans le message suivant.
Merci d'avance ^^.

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 21-11-21 à 22:43

1.
Posons:

E_n= \{u_k; k\geq n\}.

On a: n, E_{n+1}\subseteq E_n, donc:

\sup(E_{n+1})\leq \sup(E_n) et \inf(E_{n+1})\leq \inf(E_n), c-à-d:

v_{n+1}\leq v_n et w_{n+1}\geq w_n, d'où:

(v_n) est décroissante et (w_n) est décroissante.
---

On a: kn, w_n\leq u_k\leq v_n, donc pour k=n: w_n\leq u_n\leq v_n

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 21-11-21 à 22:46

Yona07 @ 21-11-2021 à 22:43

\inf(E_{n+1})\leq \inf(E_n)

\inf(E_{n+1})\geq \inf(E_n)

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 21-11-21 à 23:13

Pour 3,  on peut la démontrer par définition de limite.
Je bloque dans la deuxième question.. J'ai essayé de la démontrer également par définition mais rien n'en sort. Merci de donner des indications.

Posté par
Foxdevilre : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 21-11-21 à 23:48

Bonsoir Yona07,

Pour la 1, tout me paraît presque bon. Excepté la justification suivante:

Citation :
On a: kn, w_n\leq u_k\leq v_n, donc pour k=n: w_n\leq u_n\leq v_n
Pour prouver l'inégalité, il te suffit de rappeler que quel que soit n, u_n appartient à E_n. Et utiliser l'une des caractéristique du sup (resp de l'inf).

Pour la 2, il faut utiliser les définitions de sup et inf avec des epsilons.

Citation :
Pour 3,  on peut la démontrer par définition de limite.
Mais encore?

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 22-11-21 à 00:14

Pour 3, on va démontrer la réciproque bien sûr. On va supposer que les suites (v_n) et  (w_n) sont convergentes vers un réel l et on a pour tout n: u_n\in \{u_k; k\geq n\}. Puisque v_n\in \text{Maj}(\{u_k; k\geq n\}) et w_n\in \text{Mino}(\{u_k; k\geq n\}) alors: w_n\leq u_n\leq v_n.

En appliquant le théorème des Gendarmes, on obtient le résultat souhaité.

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 22-11-21 à 00:24

Pour 1, avec plus de précision:

On a: \{u_k; k=n\}\subset \{u_k; k\geq n\}
\{u_k; k=n\}\subset \{u_k; k\geq n\} \\\text{Donc: } \sup(\{u_k;k=n\})\leq \sup(\{u_k;k\geq n\})\\\text{Alors: } u_n\leq v_n

De même:

\{u_k; k=n\}\subset \{u_k; k\geq n\} \\\text{Donc: } \inf(\{u_k;k=n\})\geq \inf(\{u_k;k\geq n\})\\\text{Alors: } u_n\geq w_n

D'où: w_n \leq u_n\leq v_n

Posté par
Foxdevilre : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 22-11-21 à 02:52

Ok pour le 1, j'avais pas bien compris.

Pour le 3, attention. L'équivalence ne porte pas sur la convergence de v et w (qui est déjà établie avant); mais sur la convergence de u et l'égalité des limites de v et w.

Effectivement ça se joue avec les gendarmes (pour un sens de l'équivalence du moins)...mais il faut éclaircir...

Posté par
carpediemre : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 22-11-21 à 17:34

salut

msg de 00h24 : c'est quand même lourd :

u_n \in E_n \Longrightarrow \inf E_n \le u_n \le \sup E_n \iff w_n \le u_n \le v_n

PS : \{u_k  /  k = n \} = \{u_n\} tout simplement

et u \in E \iff \{u\} \subset E par définition ... mais je préfère la première phrase à la deuxième ... plus lourde à nouveau ...

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 22-11-21 à 21:00

Bonsoir!

carpediem @ 22-11-2021 à 17:34


u_n \in E_n \Longrightarrow \inf E_n \le u_n \le \sup E_n \iff w_n \le u_n \le v_n


Merci carpediem, c'est compris!

Foxdevil @ 21-11-2021 à 23:48


Pour la 2, il faut utiliser les définitions de sup et inf avec des epsilons.


Je l'ai utilisée, je vais envoyer ce que j'ai fait dans le message suivant. Merci ^^.

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 22-11-21 à 21:22

Posons: m=\inf(v_n).

m=\inf(v_n)\Leftrightarrow \begin{cases} m\in \text{Mino}(v_n)\\ \text{pour tout }\epsilon >0, \text{ il existe } k\geq n; \; m<v_k<m+\epsilon \end{cases}\\ \text{Donc: } -\epsilon<0<v_k-m<\epsilon\Rightarrow |v_k-m|<\epsilon\\\\\text{Soit }n_0=\frac{k}{2}, \text{ on a donc, pour tout n}\geq n_0, |v_n-m|<\epsilon.
?

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 22-11-21 à 21:26

Foxdevil @ 22-11-2021 à 02:52


Pour le 3, attention. L'équivalence ne porte pas sur la convergence de v et w (qui est déjà établie avant); mais sur la convergence de u et l'égalité des limites de v et w.


Faut-il donc dire : supposons que (v_n) et (w_n) convergent vers la même limite qu'on notera l?

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 23-11-21 à 13:58

Bonne après-midi!

Le résonnement que j'ai fait le  22-11-2021 à 21:22, est-il correct?

Posté par
Foxdevilre : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 23-11-21 à 16:22

Yona07 @ 22-11-2021 à 21:26

Foxdevil @ 22-11-2021 à 02:52


Pour le 3, attention. L'équivalence ne porte pas sur la convergence de v et w (qui est déjà établie avant); mais sur la convergence de u et l'égalité des limites de v et w.


Faut-il donc dire : supposons que (v_n) et (w_n) convergent vers la même limite qu'on notera l?
Oui

Yona07 @ 23-11-2021 à 13:58

Bonne après-midi!

Le résonnement que j'ai fait le  22-11-2021 à 21:22, est-il correct?
Non je ne crois pas. Pourquoi "k/2" ?
Et surtout, en quoi, ce que tu dis avant a-t-il montré que pour tout n, \geq n_0, |v_n-m|<\epsilon?

Posté par
Foxdevilre : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 23-11-21 à 16:26

Yona07 @ 23-11-2021 à 13:58

Bonne après-midi!

Le résonnement que j'ai fait le  22-11-2021 à 21:22, est-il correct?
Mais le début est pas mal...

à partir du k que tu as trouvé, prouve que pour tout entier n plus grand que k, on a aussi m \le v_n \le m+\epsilon et donc |v_n-m| \le \epsilon (mettons plutôt des inégalités larges ).

Posté par
Yona07re : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 23-11-21 à 20:47

Foxdevil @ 23-11-2021 à 16:22


Pourquoi "k/2" ?

k\geq n les deux tendent vers +..C'est là ou je me trompe..
Foxdevil @ 23-11-2021 à 16:26


A partir du k que tu as trouvé, prouve que pour tout entier n plus grand que k, on a aussi m \le v_n \le m+\epsilon et donc |v_n-m| \le \epsilon (mettons plutôt des inégalités larges ).


Mais les k sont supérieurs à n..

Posté par
Foxdevilre : Limite supérieure et limite inférieure d'une suite 23-11-21 à 20:54

Non.

Tu t'es trompée sur la déf de l'inf.

Citation :
m=\inf(v_n)\Leftrightarrow \begin{cases} m\in \text{Min}(v_n)\\ \text{pour tout }\epsilon >0, \text{ il existe } k; \; m<v_k<m+\epsilon \end{cases}\\


Ici, ce k n'a rien à voir avec un n, car il n'y a pas de "n". k dépend juste de epsilon


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