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Limites Asymptotes exercice
Bonsoir,
Je poste ce message pour vous demander de l'aide. En effet, pour vendredi, j'ai un exercice sur les asymptotes et je suis complètement largué en ce qui concerne ce sujet.
Je vous pose l'exercice :
Soit f la fonction définie sur ]2;+infini[ par f(x)= x²/x-2 .
Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité : 1cm).
1° Déterminer les réels a,b et c tels que, pour tout réel x de ]2;+inf[, f(x)= ax+b+ c/x-2.
2° Étudier la limite de f en +inf.
3° Montrer que C admet la droite ∆ d'équation y= x+2 pour asymptote. Déterminer la position de C par rapport à ∆.
4° Étudier la limite de f en 2. Donner une interprétation graphique du résultat.
5° Etudier les variations de f et dresser son tableau des variations.
6° Représenter C et ∆ dans le repère donné.
S'il vous plaît, je compte vraiment sur vous car je suis tout juste à la moyenne et je n'ai pas le droit à l'erreur.
Merci d'avance =)
PS : Je ne comprend rien du tout.
Bonjour
On vaut x²/(x - 2) = ax + b + c/(x - 2)
1) Il faut commencer par mettre ces deux écritures SOUS LA MEME FORME!
ici, tu comprendras qu'il faut mettre sous forme de quotient.
alors met ax + b + c/(x - 2) sous forme d'un quotient ... (même dénominateur)
bon jour , pour la question 1° 1° Déterminer les réels a,b et c tels que, pour tout réel x de ]2;+inf[, f(x)= ax+b+ c/x-2.
tu as tout d'abord f(x)=x²/x-2 et ici on a : f(x)= ax+b+/x-2
alors f(x)=f(x) si et seulement si:
x²/x-2 = ax+b+c/x-2; essayez de rendre ax+b+c/x-2 au même dénominateur et tu trouveras:
ax+b+c/x-2 = [(x-2)(ax+b)+c]/x-2;
après avoir rendu cette expression au même dénominateur , tu la développe le numérateur et tu aura comme résultat:
ax²+bx-2ax-2b+c/x-2 , cette dernière sera égalisée avec f(x) on a alors:
ax²+bx-2ax-2b+c/x-2 = x²/x-2 ; comme ces deux expression ont même dénominateur tu peux le négliger et tu tombera :
ax²+bx-2ax-2b+c = x² et par identification on a :
ax²= x² équivaut à dire que a = 1;
(b-2a) =ox (car b = 0 ) équivaut à dire que b-2a = 0 , tu remplaces a par sa valeur et tu aura :
b-2 = 0 , en fin b = 2
pour terminer : -2b+c = 0 , remplaces b par sa valeur et tu trouvera : -4+c = 0 équivaut à dire que c=4
d'où a = 1; b = 2 et c = 4 et l'expression de f(x) devient :
f(x)= x²/x-2 = x+2+4/x-2
pour la question 2, la limite de f en +inf(voir limite d'une fonction rationnelle ) c'est à dire que :
lim f(x) lorsque x tend vers + infini = lim x²/x(monôme du plus haut degré au numérateur ainsi qu'au dénominateur); tu peux simplifier les x et tu aura :
lim x tend vers + infini = + infini
3°pour montrer que c admet une asymptote la droite d'équation ∆ d'équation y= x+2 , il suffit de calculer la limte en + infini de [f(x)-(x-2)] et la comparée à 0 ; s' elle est égale à 0 alors c admet une asymptote la droite d'équation ∆ d'équation y= x+2.
4° la limite de f en 2 se calcule de la manière suivante :
lim f(x) lorsque x tend vers 2 = f(2) et comme f n'est pas définie en 2 , tu calcul directement la limite à gauche et à droite de 2.
pour l'interprétation graphique du résultat , tu peux formuler la phrase suivante :
la droite d'équation x= 2 est une asymptote verticale à la courbe C de f .
4° pour les variations tu détermines d'abord f'(x) , la dérivée de f.
comme f(x) = x²/x-2 , utilises la forme [u'(x).v(x)-v'(x).u(x)]/(v(x)² tout en posant :
u(x)=x² et v(x)= x-2
après tu étudieras le signe de f'(x) et faire une déduction des variations
pour f'(x)inférieur à 0 tu dira que f est décroissante et pour f'(x) supérieure à 0 , f est croissante .
en fin tu doit dresser le T.v ( Tableau de variation en tenant compte des résultats obtenus : les racines de f, les limites et les sens de variations.)
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