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Limites avec fonction logarithme

Posté par
Samsco 02-05-20 à 13:01

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Calculer les limites suivantes.

a)\lim_{x\to +\infty}(x-\ln x) \\ \\ b)\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\ln x \\ \\ c)\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}x^2} \\ \\ d)\lim_{x\to 1}\dfrac{1-x^2}{1-x^2} \\ \\ e)\lim_{x\to 0\atop x>0}\dfrac{\ln x-1}{\ln x+2} \\ \\ f)\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+kx)}{x} , k\in \mathbb{R*}

Réponses :

\\ a) \lim_{x\to +\infty}(x-\ln x)=\lim_{x\to +\infty}x(1-\dfrac{\ln x}{x})=+\infty \\ \\ b)\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\ln x= \\ \\

Posté par
carpediemre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 13:03

salut

b/ tout nombre positif est le carré de sa racine carrée ...

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 13:18

Vous vous dire \sqrt{x}=(\sqrt{\sqrt{x}})²?

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 13:19

Salut,
Tu peux te servir de ça :  X = (\sqrt{X})^2

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 13:56

pfff @ 02-05-2020 à 13:19

Salut,
Tu peux te servir de ça :  X = (\sqrt{X})^2


ssi la limite tend vers 0 à droite

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:06

pfff @ 02-05-2020 à 13:56

pfff @ 02-05-2020 à 13:19

Salut,
Tu peux te servir de ça :  X = (\sqrt{X})^2


ssi la limite tend vers 0 à droite

Qu'est ce qu'il se passe à gauche ?

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:09

rien  
c'est impossible de calculer cette limite à gauche on est en présence de lnx la

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:21

x

Posons X=\sqrt{x}
Quand x

\lim_{x\to 0 \atop x>0}X\ln(X²)=??

Posté par
Priamre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:31

ln(X²) = . . .

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:42


Posons X=\sqrt{x}
Quand x0 ; X0

\lim_{x\to 0 \atop x>0}X \ln(X²)=\lim_{x\to 0 \atop x>0}2X.\ln X=0

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:45

pour la c) tu applique encore lna^2 = ....
pour la d) tu as surement mal recopié sinon elle est facile

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:53

c) \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x²}{x}=\lim_{x\to +\infty}2*\dfrac{\ln x}{x}=0 \\ \\ d) \lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{1-x²}

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 14:58

c) ok

la d) essaie de faire ressortir une formule usuelle vue en classe

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:14

\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{1-x²}=\lim_{x\to 1}-\dfrac{\ln x}{x-1}*\dfrac{1}{1+x}=-\dfrac{1}{2}

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:18

pour la e) essaie de mettre sous la forme \large a + \frac{b}{ln(x+2)}

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:22

et enfin pour la f) tu essaie de faire ressortir une limite usuelle en 0 qui donne 1.
Et tu as terminé ton exo

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:25

Le "2 " n'est pas dans la parenthèse

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:29

désolé, plutôt \large a + \frac{b}{lnx + 2}

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:37

e) \dfrac{\ln x-1}{\ln x+2}=1-\dfrac{3}{\ln x+2}

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:43

oui maintenant la limite sera plus simple à calculer.

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 15:58

Comment fais t'on pour demontrer que (ln x-1)/(ln x+2)=1-3/(ln x+2) ,( moi je n'ai fait procéder par identificatio)?

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 16:06

on a

\dfrac{\ln x-1}{\ln x+2} = [tex]\frac{(lnx + 2 )- 3}{lnx + 2 }
                                    = 1 - \frac{3}{lnx + 2}

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 18:49

\lim_{x\to 0\atop x>0}1-\dfrac{3}{\ln x+2}=1

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 21:10

oui c'est ça fais le dernier maintenant

pfff @ 02-05-2020 à 15:22

et enfin pour la f) tu essaie de faire ressortir une limite usuelle en 0 qui donne 1.
Et tu as terminé ton exo

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 22:25

f) \dfrac{\ln(1+kx)}{x}

Posons X=kx

\dfrac{\ln(1+X)}{\frac{X}{k}}=k.\dfrac{(1+X)}{X}

,\lim_{x\to 0}k.\dfrac{(1+X)}{X}=k

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 02-05-20 à 22:44

tu as oublié les ln sinon tout est bon.

Posté par
Samscore : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 07:29

Ok

f) \dfrac{\ln(1+kx)}{x}

Posons X=kx

\dfrac{\ln(1+X)}{\frac{X}{k}}=k.\dfrac{\ln(1+X)}{X}

,\lim_{x\to 0}k.\dfrac{\ln(1+X)}{X}=k

Merci !

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 09:00

de rien

Posté par
carpediemre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 09:11

la croissance comparée de référence est lim (ln x)/x = 0

peux-tu montrer que lim [ln (x + 1)]/x = 0 ?

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 09:15

Bonjour carpediem,
cette limite donne 1 c'est ce qu'a fait Samsco

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 09:16

en 0 bien sur

Posté par
carpediemre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 10:30

ha oui en 0 ....ok ...

et pourquoi cette limite est 1 ?

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 10:46

parce que la fonction ln est dérivable en 1 et son nombre dérivé est 1
mais notre prof dit ce sont des propriétés sur les ln à connaitre on n'a pas démontré

ce sont :

. \lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x- 1} = 1

. [tex]\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln ( 1 + x )}{x} =1

y'a en a encore aussi en +infini et en 0

Posté par
carpediemre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 12:53

ce qui est bien dommage tellement elles sont élémentaires :

\dfrac {\ln x} {x - 1} = \dfrac {\ln x - \ln 1} {x - 1}

et la deuxième s'obtient à partir du changement de variable x = 1 + h

ce qui donne \dfrac {\ln(1 + x)} x = \dfrac {\ln (1 + x) - \ln 1} {x - 0}

...

Posté par
pfffre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 13:02

Ah merci j' vais en profiter en même temps

Posté par
carpediemre : Limites avec fonction logarithme 03-05-20 à 13:04

de rien


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