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Limites de suite

Posté par lolo947 (invité) 10-10-06 à 20:02

Bonsoir,
en vue d'un DST à la fin de la semaine, je suis en train de m'entraîner en faisant des exo sur les limites de suite. Je vous fait part dans ce post des 3 que n'ai pas réussi à faire. Merci d'avance pour votre aide.

Exo 1:
Etudier la limite des suites suivantes pour n \in \mathbb{N}*:
u_n=\frac{n+sin(n)}{n}
v_n=\frac{n+sin(n)}{2n+cos(n)}
En effet, j'ai du mal avec les limites avec sin et cos...si vous pouviez me donner quelques explications...

Exo 2:
Montrer que la suite définie par u_n=\frac{2x3^n+1}{3^n+4} converge vers 2 pour tout entier naturel n.
Je ne vois pas bien d'où partir...

Exo 3:
Soit la suite définie par u_0=3 et par la relation u_{n+1}=3u_n-4 pour n \in \mathbb{N}.
1. Quelle est la limite réelle l éventuelle de cette suite ?
2. On pose alors v_n=u_n-l pour tout entier naturel n. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on donnera la limite.
3. En déduire que la suite (u_n) ne converge pas.
Je vois bien qu'elle ne converge pas...mais alors comment répondre aux questions 1 et 2 si l n'existe pas ?
J'ai fait un exo dans le genre également pour m'entrainer mais l existait, donc no probleme.

Posté par
fusionfroidere : Limites de suite 10-10-06 à 20:06

Salut,

Les limites en quoi pour l'exo 1 ?

^^

Posté par
garnouillere : Limites de suite 10-10-06 à 20:06

la clé :cosinus et sinus sont  encadrés par -1 et 1

Posté par lolo947 (invité)re : Limites de suite 10-10-06 à 20:47

fusionfroide: la limite d'une suite c'est à chercher en +inf

Merci Garnouille.
Effectivement j'ai utilisé le th. des gendarmes pour la première et je trouve que lim(un)=1 mais en revanche pour (vn) je ne vois pas...

Posté par
fusionfroidere : Limites de suite 10-10-06 à 20:51

Citation :
fusionfroide: la limite d'une suite c'est à chercher en +inf


Désolé, je croyais que c'était des fonctions : j'ai lu trop vite.

Pour la peine :

4$u_n=\frac{2.3^n+1}{3^n+4}=\frac{3^n(2+\frac{1}{3^n})}{3^n(1+\frac{4}{3^n})}=\frac{2+\frac{1}{3^n}}{1+\frac{4}{3^n}}

Posté par
garnouillere : Limites de suite 10-10-06 à 20:52

deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés en sens contraires :
encadre 2n + cos(n) puis passe aux inverses....

Posté par
fusionfroidere : Limites de suite 10-10-06 à 20:53

Pour l'exo 3:

Si 4$(u_n) converge vers L, il en est de même pour 4$u_{n+1}

Que devient alors en passant à la limite la relation 4$u_{n+1}=3u_n+4   ?

Posté par lolo947 (invité)re : Limites de suite 12-10-06 à 07:44

3l+3
j'ai donc l=3l+4...et après j'ai pu faire

J'ai réussi grace à vous à terminer mes exo merci bcp !

J'ai encore une petite question, j'en profite pr vs la posez ici cela m'évite de rouvrir un topic.

J'ai quasimment fini un exo type bac, j'en comprend totalement l'esprit, seulement un calcul me bloque. J'aimerai isolé u_n dans cette expression:
v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}


Un autre exo:
j'ai montré que la suite définie par : \sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} était croissante.
Je dois maintenant trouver deux entiers naturels a et b vérifiant:
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}-\frac{b}{n+1}

Merci d'avance !!

Posté par
dadoure : Limites de suite 12-10-06 à 08:37

Bonjour,
pour ta première question il suffit de faire le produit en croix. On obtient:
u_n-1= v_n(u_n+2)\text{ et donc } (1-v_n)u_n=2v_n+1
ce qui donne
u_n=\frac{2v_n+1}{1-v_n}.
Pour la deuxième question il suffit de prendre a=b=1.
Il y a plusieurs méthodes pour obtenir a et b. Le plus simple est d'effectuer la somme
\frac{a}{n}-\frac{b}{n+1}.
On obtient
\frac{na+a-nb}{n(n+1)}
et cette fraction doit être égale à
\frac{1}{n(n+1)}
ce qui implique que n(a-b)+a=1 pour tout n.
Pour n=1, cela donne (a-b)+a=1 et pour n=2, 2(a-b)+a=1.
Par soustraction cela implique que a-b=0 et que a=1.
Dadou

Posté par lolo947 (invité)re : Limites de suite 13-10-06 à 18:58

Très bien je te remercie j'ai pu terminer mon exercice. Le controle, c'est demain, je fais un dernier exo sur les suites adjacentes, un gd classique et j'ai un petit pb pour la dernière question.
Je vous montre ce que j'ai fait...

\textrm{Soient }(u_n)\textrm{ definie par }u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\textrm{ et }(v_n)\textrm{ definie par }v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}\textrm{ avec }u_0<v_0

J'ai montré que la différence v_n-u_n était une suite géométrique de raison \frac{1}{3} et que sa limite était 0. J'ai montré que u était croissance et v était décroissante.
Comme u est croissance, v est décroissante et que la limite de leur différence est 0, j'en déduit que quelquesoit n entier naturel, v>u. Par définition, ces deux suites sont donc adjacentes.

J'ai ensuite montré que la somme de ces deux suites était constante.

Je dois déduire de tout cela la limite commune de ces deux suites.
Notre prof nous a dit que l'on devait tomber sur:
limv_n=limu_n=\frac{u_0+v_0}{2}=l

Le problème c'est que je ne vois pas trop comment on peut arriver à cette conclusion. Merci de me donner un tit coup de pouce !


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