Niveau autre

Limites de suite/somme

Posté par
jizozor 12-11-13 à 05:59

Bonjour a tous,
J'ai reussi a determiner les deux limites,ci dessous qui sont respectivement $x+1$ et $\frac{1-b}{1-a}$ , mais je bloque sur certains concepts mathematiques :
$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n}[(x+\frac{2}{n})+(x+\frac{4}{n})+...+(x+\frac{2n}{n})]$
= $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n} [ \sum_{k=1}^{n}(x+\frac{2k}{k})]$
Est ce la somme des $n$ termes de $x+\frac{2n}{n}$ qui constitue une suite arithmetique ou la suite de terme generale $x+\frac{2n}{n}$ qui l'est?

$\lim_{x\to\infty}\frac{1+a+...+a^n}{1+b+...+b^n}$
= $\lim_{x\to\infty}\frac{S_1}{S_2}$
Ou $S_1 = \sum_{k=0}^{n}a^n$ et $S_2 = \sum_{k=0}^{n}b^n$
Sachant que $1+a+...+a^n$ est la somme des n termes d'une suite geometrique alors on peut utiliser directement la formule et remplacer.

Etant similaire a la premiere limite, je suis completement confus,un peu d'aide me ferait plaisir.
Merci d'avance

_{* Tom_Pascal > forum modifié *}

Posté par re : Limites de suite/somme 12-11-13 à 07:21

Salut,
Quel bazar là dedans...
D'abord, c'est plutôt niveau supérieur.
Enxuite :
Ta première somme est visiblement égale à x + somme de 2i/n.
Si c'est vraiment la limite quand x tend vers l'infini que tu cherches, elle est égale à +oo.
Et je te rappelle que $\frac{2n}{n}=2$ .

Posté par re : Limites de suite/somme 12-11-13 à 10:44

Bonjour,
Desole en ce qui concerne le niveau. Une erreur de ma part. Je viens de constater que mon ebauche d'egalite ne repond pas au condition de la limite initiale, a savoir $n$ termes de $x$ .Donc en tenant compte des nouveaux parametres

$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n}[(x+\frac{2}{n})+(x+\frac{4}{n})+...+(x+\frac{2n}{n})]$

= $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n} [ \sum_{k=1}^{n}(kx+\frac{2k}{k})]$

= $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n} [n\times\frac{(x+\frac{2}{n})+(x+\frac{2n}{n})}{2}]$ // Car suite arithmetique

= $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n} [n\times\frac{2nx+2n+1}{2n}]$

= $\lim_{x\to\infty} [n\times\frac{x+1+\frac{1}{n}}{n}]$

= $\lim_{x\to\infty} x+1+\frac{1}{n}$

= $x+1$

En gros voila comment j'ai pu obtenir $x+1$ comme solution. Cependant ma question subsiste toujours: est ce la somme des $n$ termes de $x+\frac{2n}{n}$ qui constitue une suite arithmetique ou la suite de terme generale $x+\frac{2n}{n}$ qui l'est?
Pourquoi $\frac{2i}{n}$ sachant que le dernier terme dans la limite initiale est $\frac{2n}{n}$ ?

Posté par re : Limites de suite/somme 12-11-13 à 20:39

Bonsoir.

@jizozor

Je pense que c'est n qu'on doit faire tendre vers l'infini et non x. La 2ème somme est d'ailleurs indépendante de x.
La 1ère somme n'est elle-même ni une suite arithmétique ni non plus la somme de termes successifs d'une suite arithmétique. La différence de 2 termes successifs d'une suite arithmétique (U_n) est une constante r indépendante de n qu'on appelle raison, $U_{n+1}-U_n=r$ .

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[(x+\frac{2}{n})+(x+\frac{4}{n})+...+(x+\frac{2n}{n})\right] = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}(x+\frac{2k}{n}) =\int_a^b f(t)dt$

Trouves la fonction $f$ et les bornes a et b et calcules l'intégrale $\int_a^b f(t)dt$
est une somme associée aux somme de Riemann $\sum_{k=1}^{n}(t_{k}-t_{k-1})f(s_k)$ où $a=t_0<t_1<t_2<.....<t_{n-1}<t_n=b$ et $s_k \in [{t_{k-1};t_k[$ .
La limite quand $n \to \infty$ , si elle existe, de \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{k(b-a)}{n}) est égale à =\in_q
a

$\lim_{x\to\infty}\frac{1+a+...+a^n}{1+b+...+b^n}$
= $\lim_{x\to\infty}\frac{S_1}{S_2}$
Ou $S_1 = \sum_{k=0}^{n}a^n$ et $S_2 = \sum_{k=0}^{n}b^n$
Sachant que $1+a+...+a^n$ est la somme des n termes d'une suite geometrique alors on peut utiliser directement la formule et remplacer.

Posté par re : Limites de suite/somme 12-11-13 à 20:56

Désolé pour l'envoi du message, je voulais faire un aperçu.
Je reprend.

Trouves la fonction $f$ et les bornes $a$ et $b$ et calcules l'intégrale $\int_a^b f(t)dt$

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+a+...+a^n}{1+b+...+b^n}=\dfrac{1-b}{1-a}$ si les 2 raisons $a$ et $b$ vérifient $|a|<1$ et $|b|<1$ . Dans quel(s) autre(s) cas, la limite $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+a+...+a^n}{1+b+...+b^n}$ existe?

Posté par re : Limites de suite/somme 12-11-13 à 23:08

Bonjour delta-b

En effet les limites ci-dessus sont pour $n \to \infty$ ,et non $x$ , pour revenir a la deuxieme limite,les conditions sur $a$ et $b$ sont $\mid{a}\mid<1$ et $\mid{b}\mid<1$ .
Desole tout le monde,je ne sais pas ou j'avais la tete pour ommetre ces conditions,je pense que cela permet de conclure la deuxieme limite.

Par rapport a la premiere limite: determiner la fonction $f$ et ses bornes verifiant l'egalite, je ne vois pas comment commencer cela!

Posté par re : Limites de suite/somme 14-11-13 à 00:51

Bonsoir.

Si tu n'as pas étudié l'intégrale de Riemann, tu pourras te poser la question sur certaines formules comme la suivante par exemple $(a<b)$ et qu'on va utiliser:
$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(a+ \dfrac{k(b-a)}{n}\right)=\int_a^b f(t)dt$ .

Il t'est plus maintenant plus aisé de déterminer $f , a$ et $b$ et pour te mettre dans la voie a=x.

Posté par re : Limites de suite/somme 14-11-13 à 19:13

Ok, merci,je re-essaye demain soir,au plus tard samedi en suivant cette voie et vous fait signe du resultat

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