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Limites et asymptotes
Bonjour à tous, je suis un élève de 1èreS: j'ai un exercice à résoudre pour la rentrée, mais je bloque sur des questions, ne voyant pas quelles méthodes utiliser:
voila l'exercice:
VRAI OU FAUX, justifier la réponse
On considère la fonction f définie sur R-[1] par
f(x)= (ax²+bx+c)/(1-x)
où a b et c sont des réels.
On connait son tableau de variations:voir ci joint.
1°c=0
2° a est supérieur à zéro
3° Pour tout réel x différent de 1, f'(x)= (2x-x²)/(1-x)²
4° La droite d'équation y= 1-x est asymptote à la courbe représentant f en + l'infini.
5° La droite d'équation y=-x est asymptote à la courbe représentant f en - l'infini.
6° La courbe représentant f a une seule asymptote.
Ma réponse:
1° Dans le tableau, on voit que lorsque x=0, f(x)=2
(a0²+b0+c)/1-0=c/1=2 c'est donc faux car c=2
2°La je pense qu'il faut faire avec le signe du trinome, il est du signe de a, comme 1-x est négatif sur [2;+infini] et que le quotient est négatif sur ce même ensemble de définition,
alors le polynome est forcément positif, et donc a est supérieur à zéro.C'est vrai
3° Il faut sans doute utiliser u'v-v'u/v², mais je ne trouve pas de résultats concluants:
je trouve f'(x)= ax+b/(1-x)²
Est ce que c'est faux ?
4° La limite de f(x) quand x tend vers + l'infini est elle 1-x
La je bloque, je ne vois pas comment faire.
5° Même blocage sur cette question.
6° Tout dépend de ce que j'aurai répondu précédemment.
Merci d'avance à ceux qui m'aideront,
Bien cordialement.
bonjour
1) ta réponse est juste
2) utilise plutôt les limtes
limf(x)=lim(ax²/-x) en oo
=lim(-ax) en oo
limf(x)=-oo en +oo donc a>0 rmq a est différent de 0
3) d'après le tableau de variation
f est croissante dans ]2;1[U]1;2[ donc f'(x) >0 sur ]2;1[U]1;2[
f est décroissante dans ]-oo;0[U]2;+oo[ donc f'(x) <0 sur ]-oo;0[U]2;+oo[
f'(0)=0 et f'(2)=0
donc le signe de f'(x) est le même que 2x-x²
f'(x)=[(2ax+b)(1-x)+(ax²+bx+c)]/(1-x)²
=(-ax²+2ax+b+c)/(1-x)²
f'(x)=(2x-x²)/(1-x)² ssi a=1 et b=-c
c'est vrais dans ces conditions
3)f(x)=(x²+bx-b)/(1-x)
x²+bx-b=-x(1-x)+(b+1)x-b
=-x(1-x)-(b+1)(1-x)+b+1-b
=(-x-b-1)(1-x)+1
donc
f(x)=-x-b-1+(1/(1-x))
donc lim(f(x)+x+b+1))=lim(1/(1-x))=0 en +oo et en -oo
donc y=-x-b-1 est assymptote à Cf en général
y=1-x est assymptote à Cf uniquement dans le cas 1=-b-1 cad b=-2
vrai si b=-2 faux en général
5) y=-x-b-1 est assymptote à Cf en généralen +oo et en -oo
y=-x est assymptote à Cf en -oo uniquement dans le cas 0=-b-1 cad b=-1
vrai si b=-1 faux en général
6) faux x=1 est aussi une assymptote en plus de y=-x-b-1
3) ta dérivé est fause dc trouve la bonne ensuite tu remplace f'(0) et f'(2) pour trouvé a et b
di moi si tu ni arrive pa
bonsoir
sauf erreur la dérivée de f(x) (en prenant c=0 puisque le tableau le montre)
f'(x)=(-ax²+2ax+b)/(1-x)²
donc on a
a=1 et b=0 et la fonction est
f(x)=x²/(1-x)
si tu écris x²=x²-1+1
f(x)=(x²-1+1)/(1-x)
=(x²-1)/(1-x)+1/(1-x)
=x+1 +1/(1-x)
et tu vois bien que lorsque x tend vers + ou- oo f(x) tend vers x+1
y=x+1 est donc bien asymptote oblique de f(x)
je te laisse maintenant trier dans les données qui figurent dans l'énoncé
Merci à tous ceux qui m'ont aidé, maintenant j'ai bien compris:
juste à la question 4°/ watik, lorsque tu met f(x)= x²+bx-b/(1-x)
tu considère que c=-b ? Ou alors c'est une faute de frappe ?
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