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Limtes

Posté par
Samsco 17-02-20 à 12:31

Bonjour tlm, aidez moi à calculer ces limites svp

1) \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{2}-3\sqrt{x}

2) \lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{|x-1|}}{x-1}

3) \lim_{x\to 0}\dfrac{Sin2x}{\sqrt{1-cos3x}}

4) \lim_{x\to \dfrac{\pi}{6}}\dfrac{Sin(x-\dfrac{\pi}{6})}{2Sinx-1}

5)\lim_{x\to +\infty}(x+1)tan\dfrac{1}{x}

Posté par
Glapion Moderateurre : Limtes 17-02-20 à 12:38

Bonjour, il y en a des simples, qu'est-ce que tu proposes ?

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 12:45

1) On nomme toutes ces fonctions f(x)
On a f(x)=\dfrac{x}{2}-2\sqrt{x}=\dfrac{x-6\sqrt{x}}{2}=\dfrac{(\sqrt{x})²-6\sqrt{x}}{2}=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-6)}{2}=\dfrac{\sqrt{x}}{2}*\sqrt{x}-6

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

Posté par
Glapion Moderateurre : Limtes 17-02-20 à 12:51

une faute au début 2 fois 2 = 4, pas 6

mais sinon ok tu as eu le bon réflexe, factoriser le terme le plus costaud.

c'était plus rapide d'écrire \dfrac{x}{2}-2\sqrt{x}= x(\dfrac{1}{2}-2\dfrac{1}{\sqrt{x}}) le premier facteur tend vers l'infini, le second vers 1/2, le produit tend donc vers l'infini.

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 12:52

Pour la 2)
Quand  x\to +\infty ,|x-1|=x-1 nan?

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 12:54

Glapion @ 17-02-2020 à 12:51

une faute au début 2 fois 2 = 4, pas 6

mais sinon ok tu as eu le bon réflexe, factoriser le terme le plus costaud.

c'était plus rapide d'écrire   \dfrac{x}{2}-2\sqrt{x}= x(\dfrac{1}{2}-2\dfrac{1}{\sqrt{x}}) le premier facteur tend vers l'infini, le second vers 1/2, le produit tend donc vers l'infini.

D'accord

Posté par
Glapion Moderateurre : Limtes 17-02-20 à 12:55

Citation :
Pour la 2)
Quand x\to +\infty ,|x-1|=x-1 nan?


oui

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 13:13

f(x)=\dfrac{(\sqrt{x-1})(\sqrt{x-1})}{x-1(\sqrt{x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)=0

Posté par
Glapion Moderateurre : Limtes 17-02-20 à 13:50

très bien.

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 13:54

Comment puis je faire la 3)

Posté par
Glapion Moderateurre : Limtes 17-02-20 à 14:01

tu pourrais faire sauter la racine du dénominateur en utilisant la formule
1 - cos a = 2 sin²(a/2) puis quand tu n'auras plus que des sinus, faire apparaître des sin X / X qui tendent vers 1.

pense à bien distinguer les cas x tendant vers 0 par valeurs supérieures ou inférieures.

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 14:14

OK
f(x)=\dfrac{Sin2x}{\sqrt{2}Sin(\frac{3}{2}x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}*\dfrac{Sin2x}{Sin(\frac{3}{2}x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}*\dfrac{Sin2x}{2x}*\dfrac{2x}{\frac{3}{2}x}*\dfrac{\frac{3}{2}x}{Sin(\frac{3}{2}x)}

Donc \lim_{x\to 0}f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}*1*\dfrac{4}{3}*1=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}

Posté par
Glapion Moderateurre : Limtes 17-02-20 à 18:52

oui mais tu n'as pas tenu compte de ma remarque de faire attention au signe de x.

attention, (2 sin²(3x/2)) = 2 * | sin(3x/2)| et tu as oublié les valeurs absolues.
et si x est négatif alors | sin(3x/2)| = - sin(3x/2)

ce qui fait que ta limite est bien \dfrac{2\sqrt{2}}{3} si x tend vers 0 par valeurs positives mais elle vaut -\dfrac{2\sqrt{2}}{3} si x tend vers 0 par valeurs négatives.

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 20:12

Ah ok

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 21:25

Bonsoir ,Pour la 4) , qu'est ce que je peux faire faire?

Posté par
alb12re : Limtes 17-02-20 à 21:31

salut,
faire appel à x-pi/6 ?

Posté par
Samscore : Limtes 17-02-20 à 21:51

Le multiplier au numérateur et au dénominateur ?

Posté par
alb12re : Limtes 17-02-20 à 22:35

oui mais il me semble que tu ne dois pas utiliser les taux d'accroissements ?

Posté par
Samscore : Limtes 18-02-20 à 19:20

Oui car x tend vers π/6

Posté par
Samscore : Limtes 18-02-20 à 19:22

Que dois je faire alors?

Posté par
sihassanre : Limtes 19-02-20 à 00:23

Procéder au changement de variable
X=x-pi/6

Posté par
carpediemre : Limtes 19-02-20 à 01:31

salut

2 \sin x - 1 = 2\left( \sin x - \sin \dfrac {\pi} 6 \right) ...

Posté par
carpediemre : Limtes 19-02-20 à 01:35

donc en posant p = pi/6

\dfrac {\sin (x - p)}{2\sin x - 1} = \dfrac 1 2 \dfrac {\sin (x - p)} {x - p} \times \dfrac {x - p} {\sin x - \sin p}

et (x + 1) \tan \dfrac 1 x = \left( 1 + \dfrac 1 x \right) \dfrac {\tan \dfrac 1 x - \tan 0} {\dfrac 1 x - 0}

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 08:42

alb12 @ 17-02-2020 à 22:35

oui mais il me semble que tu ne dois pas utiliser les taux d'accroissements ?

c'est oui ou c'est non ?

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 14:27

Non puisque x tend vers π/6

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 14:30

carpediem @ 19-02-2020 à 01:35

donc en posant p = pi/6

\dfrac {\sin (x - p)}{2\sin x - 1} = \dfrac 1 2 \dfrac {\sin (x - p)} {x - p} \times \dfrac {x - p} {\sin x - \sin p}

et (x + 1) \tan \dfrac 1 x = \left( 1 + \dfrac 1 x \right) \dfrac {\tan \dfrac 1 x - \tan 0} {\dfrac 1 x - 0}

Je n'ai pas encore vu les dérivés en classe

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 16:27

Ducoup est ce qu'il est possible de calculer cette limite sans les dérivés ?

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 16:32

demande à ton prof s'il faut vraiment chercher cette limite,
demande lui une piste,
ou attend que qqun ici nous donne un coup de pouce

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 16:32

Okay

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 16:34

Est ce que c'est aussi le cas pour la dernière?

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 16:40

là tu peux faire apparaître sin(1/x)/(1/x)

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 16:45

OK
f(x)=\frac{Sin(\dfrac{1}{x})(x+1)tan(\dfrac{1}{x})}{Sin(\dfrac{1}{x})}

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 16:50

le sin(1/x) est dans la tangente
il faut mettre 1/x en bas
f(x)=tan(1/x)*(x+1)=sin(1/x)/(1/x)*(x+1)/x*1/cos(1/x)

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 16:58

connais tu une formule avec sin(p)-sin(q)

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 17:00

Ouais j'ai vu un peu les formules de trigo

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 17:06

alb12 @ 19-02-2020 à 16:50

le sin(1/x) est dans la tangente
il faut mettre 1/x en bas
f(x)=tan(1/x)*(x+1)=sin(1/x)/(1/x)*(x+1)/x*1/cos(1/x)

J'ai pas bien compris ça mais voici ce que j'ai fait

(x+1)tan(\frac{1}{x})=(x+1)(\dfrac{Sin(\frac{1}{x})}{Cos(\frac{1}{x})})=\dfrac{(x+1)(Sin(\frac{1}{x}))}{Cos(\frac{1}{x})}

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 17:11

\\ \tan\left(x^{-1}\right)\cdot (x+1)=(\frac{\sin\left(x^{-1}\right)}{x^{-1}} \cdot \frac{(x+1)}{x \cos\left(x^{-1}\right)}) \\

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 17:16

Oui je vois ,ensuite je fais quoi?

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 17:19

quand x tend vers plus l'infini, 1/x tend vers 0 donc sin(1/x)/(1/x) tend vers 1
regarde la limite de (x+1)/x et celle de cos(1/x)

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 17:23

La limite de (x+1)/(xCos(x^-1)), ça donne +l'infini/+l'infini

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 17:40

\\ \tan\left(x^{-1}\right)\cdot (x+1)=(\frac{\sin\left(x^{-1}\right)}{x^{-1}} \cdot \frac{(x+1)}{x \cos\left(x^{-1}\right)})=\dfrac{SinX}{X}*\dfrac{x+1}{x}*\dfrac{1}{CosX}=\dfrac{SinX}{X}*\dfrac{x(1+\frac{1}{x})}{x}*\dfrac{1}{CosX}=\dfrac{SinX}{X}*1+\dfrac{1}{x}*\dfrac{1}{CosX} \\
Avec X= 1/x

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)=1*1*1=1

Posté par
alb12re : Limtes 19-02-20 à 17:49

oui c'est l'idee mais dans une redaction on ne melange pas les x et les X
resultat juste 16/20

Posté par
Samscore : Limtes 19-02-20 à 17:53

😁 ok

Posté par
Samscore : Limtes 25-03-20 à 10:25

f(x)=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}*\dfrac{x-\frac{\pi}{6}}{x-\frac{\pi}{6}}

Posons X=x-\frac{\pi}{6}

[tex]\lim_{x\to X}\dfrac{\sin X}{X}*\dfrac{X}{2\sin(X+\frac{\pi}{6})}=1*\frac{0}{1}=0[/tex

Posté par
Samscore : Limtes 25-03-20 à 10:25

f(x)=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}*\dfrac{x-\frac{\pi}{6}}{x-\frac{\pi}{6}}

Posons X=x-\frac{\pi}{6}

\lim_{x\to X}\dfrac{\sin X}{X}*\dfrac{X}{2\sin(X+\frac{\pi}{6})}=1*\frac{0}{1}=0

Posté par
Samscore : Limtes 25-03-20 à 10:27

f(x)=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}*\dfrac{x-\frac{\pi}{6}}{x-\frac{\pi}{6}}

Posons X=x-\frac{\pi}{6}

\lim_{X\to 0}\dfrac{\sin X}{X}*\dfrac{X}{2\sin(X+\frac{\pi}{6})}=1*\frac{0}{1}=0

Posté par
Priamre : Limtes 25-03-20 à 15:34

Il manque  - 1  au dernier dénominateur.

Posté par
Samscore : Limtes 26-03-20 à 12:35

f(x)=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}=\dfrac{\sin(x-\frac{\pi}{6})}{2\sin(x)-1}*\dfrac{x-\frac{\pi}{6}}{x-\frac{\pi}{6}}

Posons X=x-\frac{\pi}{6}

f(x)=\dfrac{\sin X}{X}*\dfrac{X}{2\sin(X+\frac{\pi}{6})-1}

Posté par
Samscore : Limtes 26-03-20 à 13:09


\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{X}{\sin X}*\dfrac{2\sin(X+\frac{\pi}{6})-1}{X}

g(x)=2\sin(X+\frac{\pi}{6})
g(0)=1
g'(x)=2\cos(X+\frac{\pi}{6})
g'(0)=\sqrt{3}

\lim_{X\to0}\dfrac{1}{f(x)}=\sqrt{3}
Donc \lim_{x\to \frac{\pi}{6}}f(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

Posté par
Priamre : Limtes 26-03-20 à 14:59

Résultat exact.

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