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limtes de suites usuelles

Posté par audreys (invité) 11-08-05 à 20:14

bonjour,
voilà l'énoncé:
Déterminer, quand elle existe, la limites des suites Un, définies pour tout n comme suit:

1)Un=   2n - en    
         2n + n (-1)n

2)Un= n² (1 - cos (1/n))

3)Un=(-1)n cos (n * "pi" +1/n)

4)Un=( sin (1/(n+1)) +(-1)n) en

5)Un=    n (e1/n - 1)  
          V(n²+n) - n
avec V pour racine carrée)

6)Un=n ln(n + 1) - n ln(n)

Habituellement j'arrive à déterminer les limites de suites mais à j'ai tout essayé (multiplier par le conjugué, par n, et 1/n) et je tombe toujours sur une forme indéterminée.
Que dois- je faire?
merci pour vos réponses

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 11-08-05 à 20:46

Bonjour,

Pour la 1 : tu pourrais factoriser par 2^n non?

A plus

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 11-08-05 à 20:49

Re-Bonjour,

Pour la 6 : La factorisation par n et la stricte croissante de la fonction ln devrait t'aider.

A plus

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 11-08-05 à 20:52

Re-Bonjour,

Pour la 4 : Tu peux prouver que \lim_{x\to +\infty} sin(\frac{1}{n+1}=0 puis tu dis que :(-1)^n est soit égal à 1 soit à -1 et que e^n tend vers l'infini donc.Ta suite tend alternativement vers +\infty et -\infty

A plus

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 11-08-05 à 20:53

Petit erreur!

Je voulais marquer : \lim_{x\to%20+\infty} sin(\frac{1}{n+1})=0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 05:42

Indice pour la (2) :

Remarquer que 1-\cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}
et \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 05:47

Indice pour la (3) :

Remarquer que (-1)^n=\cos(n\pi)
et \cos a \cos b = \frac{cos(a+b)+cos(a-b)}{2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 05:55

Indice pour la (5) : traiter séparément numérateur et dénominateur.

Pour le numérateur, utiliser le fait que l'on connait \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} (taux d'accroissement... dérivée)

Pour le dénominateur, multiplier par la quantité conjuguée et simplifier.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 05:56

Audrey, tu as maintenant un indice pour chacune des 6 limites !
A toi de jouer !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 06:55

Bonsoir tout le monde;
2)4$\blue\lim_{n\to+\infty}n^2(1-cos(\frac{1}{n}))=\lim_{n\to+\infty}\frac{1-cos(\frac{1}{n})}{(\frac{1}{n})^2}=\frac{1}{2}
6)4$\blue\lim_{n\to+\infty}n(ln(n+1)-ln(n))=\lim_{n\to+\infty}\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1

Posté par audreys (invité)re : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 15:28

bonjour,
merci pour vos réponses.
J'ai encore quelques petits problème pour déterminer les limites de certaines suites:

1) Un =(1-(e^n/2^n))/(1+(n(-1)^n)/2^n)= 1-e(1-ln2)n/(1+(-1)n*n*2-n)
là je suis en présence d'une forme indéterminée. Que dois-je faire

2)Un = n² ( 2-sin^2(1/(2n))) = (2-sin^2(1/(2n)))/ (1/n²)
je suis encore ne présence d'une forme indéterminée.

pour la 3 et la 4 j'ai pu montrer qu'il n'existait pas de limite.

5)Un = Vn / Wn  

Vn = n² ((e(1/n)-1)/n)  -->forme indéterminée
Wn = (\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n) = n


6) Un = n (ln(n+1) - ln(n)) = n ln(n+1)  
                                    ln(n)

forme indéterminée

Que dois faire.
merci d'avance pour vos réponses

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 17:56

Bonjour,

1)4$ U_n=\frac{1-\frac{e^n}{2^n}}{1+n\frac{(-1)^n}{2^n}}=\frac{1-(\frac{e}{2})^n}{1+n(\frac{-1}{2})^n}=\frac{1-(\frac{e}{2})^n}{n(\frac{1}{n}+(\frac{-1}{2})^n)}

La dernière étape, tu as le droit de la faire car on étudie la limite en + \infty.

Maintenant tu devrais pouvoir conclure.

A plus

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 17:59

Audrey, je dois te dire que je suis triste de découvrir ton message. Tu postes beaucoup de questions sur le forum. Comme d'autres, je passe beaucoup de temps à essayer de t'aider, mais tu prêtes manifestement peu d'attention à ce que nous t'écrivons. Cf. messages ci-dessous où je reviendrai sur l'ensemble des points, avec plus d'explications.

De manière générale, quand tu es face à une forme indéterminée, il faut... essayer de la lever, en suivant nos conseils !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 18:08

Pour la (3), tu dis qu'il n'y a pas de limite. C'est faux.

Je t'ai justement proposé ci-dessus d'utiliser :
(-1)^n=\cos n\pi
et
\cos a \cos b = \frac{\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}

Il suffit... de le faire !
(-1)^n \cos(n\pi+1/n)= \cos (n\pi) cos (n\pi+1/n)
=\frac{\cos(n\pi+n\pi+1/n) + \cos (n\pi-n\pi-1/n)}{2} =\frac{\cos(2n\pi+1/n) + \cos (1/n)}{2}
=\cos(1/n) \to \cos(0)=1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 18:14

Pour la (2), je t'ai suggéré plus haut de remarquer que :
1-\cos x=2.sin^2\frac{x}{2}
et \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1

Là encore, tu avais tous les éléments :
n^2(1-\cos \frac{1}{n})
= n^2.2\sin^2(\frac{1}{2n})=\frac{1}{2}(\frac{\sin \frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}})^2 \to \frac{1}{2}1^2 = \frac{1}{2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 18:22

Pour la (5), je t'avais aussi tout dit (relis mon message)

numérateur = n(e^{1/n}-1) = \frac{e^{1/n}-1}{1/n}

Je t'avais proposé de remarquer que, quand x \to 0, \frac{e^x-1}{x} est un taux d'accroissement. En effet, c'est celui de la fonction exponentielle entre 0 et 0+x. Donc :
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = exp'(0) = e^0 = 1

Donc \lim_{n\to \infty} \rm{numerateur} = 1

Pour le dénominateur, je t'avais proposé de multiplier par la quantité conjuguée et de simplifier :
\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{1}{2}

Donc le tout tend vers 2

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 18:27

Pour la (6), elhor_abdelali t'avait donné la réponse ci-dessus :

n(\ln(n+1)-\ln(n))=n \ln\frac{n+1}{n} = n\ln(1+\frac{1}{n})=\frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}

Or tu sais que \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1

Donc la suite tend vers 1

Posté par audreys (invité)re : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 19:00

pour la (3) il y a quelque chose que je ne comprends pas:
Un = cos (2n"pi" +1/n) + cos (-1/n)
                            2

lim n-> infini cos (-1/n) = 1 (là je suis d'accord)

lim n-> infini 2n "pi" +1/n = infini

d'apres la limites d'une fonction composée:
lim n-> infini cos (2n"pi" +1/n) c'est une valeur indéterminée puisque la fonction cosinus est prériodique et par conséquent elle vaut alternativement 1 ou -1.
C'est pour ça que j'ai dit que cette suite n'avait pas de limite.
Qu'est ce qui ne va pas dans mon raisonnement?
merci pour vos réponses

Posté par
cinnamonre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 19:05

Salut,
audreys que vaut cos(2+x) ?

Posté par audreys (invité)re : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 19:06

j'ai compris mon erreur pour la 3 en fait quand on ajoute 2"pi"n ça ne change pas l'angle.

Posté par audreys (invité)re : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 19:06

merci

Posté par
cinnamonre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 19:12

Je t'en prie

P.S : pour faire clique sur le petit symbole en bas de ta fenêtre, et sélectionne ce dont tu as besoin...

Posté par audreys (invité)re : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 19:13

Je crois que mon problème pour résoudre toute ces limites est que je ne connais pas mes formules. C 'est pour ça que je retombais sur des formes indéterminées. Excusez-moi.
Merci pour vos réponses

Posté par audreys (invité)re : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 19:53

il me reste une suite la (1) je vous montre ce que j'ai fais:
Un =   2n - en  
       2n + n (-1)n

Un = ( 2^n (1-(e^n/2^n) ) / ( 2^n (1+n(-1/2)^n ) )

Un = ( 1-e((1-ln2)n) ) / ( 1+n (-1/2)n)

ensuite j'ai multiplié par le conjugué et je suis encore en forme indéterminée.
J'ai mis aussi 1/n en facteur, ça ne lève pa l'indétermination.
Que puis- je faire d'autre?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:02

audreys

Pour cette limite je t'es quasiment mis la solution plus haut...A toi de finir.

A plus

Posté par
cinnamonre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:06

clemclem depuis quand en/2n=(e/2)n ????:-x:-x

Posté par
cinnamonre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:08

De plus, tu n'as en rien levé l'indétermination...

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:16

cinnamon pour quelles raisons cela ne serait pas vrai (la fraction avec e et 2)?

Je viens de me rendre compte pour l'indétermination vu que e >2.

A plus

Posté par
cinnamonre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:19

excuse-moi pour l'exponentielle, c'est vrai....(la fatigue surement)...
Sinon à propos de l'indétermination, je ne vois pas comment la lever avec des outils de terminale...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:25

Bonjour tout le monde;
clemclem,pour la (1) pourquoi ne pas factoriser par e^n au lieu de 2^n et comme ça on a:
Un = \frac{(\frac{2}{e})^n-1}{(\frac{2}{e})^n+n(\frac{-1}{e})^n} et comme on sait que:
(\forall a\in]-1,1[)\lim_{n\to+\infty}a^n=\lim_{n\to+\infty}na^n=0 on a que:
3$\blue\lim_{n\to+\infty}U_n=-\infty

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:28

Voilà l'erreur...

J'ai factoriser par 2^n car je suis parti du principe que 2>e or c'est faux...

Merci elhor_abdelali

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:30

Ou bien, sauf erreur :
\frac{2^n-e^n}{2^n+n(-1)^n} \le \frac{2^n-e^n}{2^n-n}=\frac{1-(\frac{e}{2})^n}{1-\frac{n}{2^n}} \to -\infty

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:31

Par contre, tu marques :(\forall%20a\in]-1,1[)\lim_{n\to+\infty}a^n=\lim_{n\to+\infty}na^n=0

Je n'es jamais vu ce théorème en Terminale...En fait c'est surtout le passage à la limite de na^n qui me pose problème.

En aurais-tu la démonstration?

A plus

Posté par
cinnamonre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:32

as-tu vu les croissances comparées clemclem ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:33

Non pas encore...Mais si la réponse y est alors pas de problème.

Merci cinnamon

A plus

Posté par
cinnamonre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:38

Je ne crois pas que ce soit réellement démontré en terminale, mais en gros la puissance tend plus vite vers zéro que n ne tend vers l'infini...

Posté par audreys (invité)re : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 20:51

merci beaucoup

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 21:42

Oui clemclem,je crois qu'une démonstration niveau Terminale peut ^tre la suivante:
comme a<1 on choisit un réel b tel que a<b^2<1 (prendre par exemple b=\sqrt{\frac{1+a}{2}}) on a alors a^n<b^{n+k} pour k=0,1,..,n et on peut donc écrire:
na^n=a^n+a^n+..+a^n<b^n+b^{n+1}+..+b^{2n}=b^n(1+b+..+b^n)=b^n\frac{1-b^{n+1}}{1-b}<\frac{b^n}{1-b} et comme \lim_{n\to+\infty}b^n=0 on conclue que: \lim_{n\to+\infty}na^n=0
Voilà,en tout cas les connaissances utilisées dans cette démonstration sont du niveau Terminales.

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : limtes de suites usuelles 12-08-05 à 22:23

Merci bien elhor_abdelali

A plus

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limtes de suites usuelles 13-08-05 à 01:00

De rien clemclem,
pour la rigueur une petite réctification dans mon dernier post:
a^n<b^{n+k} pour k=0,1,..n-1 ce qui donne pour tout n\ge1,
na^n<b^n+b^{n+1}+..+b^{2n-1}=b^n(1+b+..+b^{n-1})=b^{n}\frac{1-b^n}{1-b}<\frac{b^n}{1-b}
le reste est bon

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limtes de suites usuelles 13-08-05 à 11:06

Une autre démonstration, plus "rouleau-compresseur", mais de niveau Terminale.

Pour montrer que \lim_{n\to +\infty} n.a^n = 0 (a<1), il suffit de montrer que \lim_{n\to +\infty} \frac{b^n}{n} = +\infty (b>1).

Pour cela, il suffit de montrer que \frac{b^n}{n} \ge n à partir d'un certain rang.

0r \frac{b^n}{n} \ge n \Leftrightarrow b^n \ge n^2 \Leftrightarrow n.\ln b \ge 2.\ln n \Leftrightarrow \frac{n}{\ln n} \ge \frac{2}{\ln b}

Or \phi : x |\to \frac{x}{\ln x} est une bijection strictement croissante de [e;+\infty[ dans [e;+\infty[
(il suffit de dériver)

Donc :
\exists x_0>e tel que \forall x\ge x_0, \frac{x}{\ln x} \ge \frac{2}{\ln b}
\exists N\in\mathbb{N} tel que \forall n\ge N, \frac{b^n}{n}\ge n
Donc \frac{b^n}{n} \to +\infty

Nicolas


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