bonjour,

applique simplement la définition

f linéaire si
pour tt x, y de l'ensemble source et tt , réels
f(x+y)=f(x)+f(y)

Pour D: R3[X] ---> R2[X]
            P ---> P'

on vérifie:

1)l'additivité:

Soient P,Q deux polynômes de R3[X],
on a D(P+Q) = (P+Q)'  
            = P'+ Q'
(c'est une propriété de la dérivée d'un polynôme, pas difficile à montrer si tu connais la définition de la dérivée d'un polynôme)
et P'+ Q' = D(P) + D(Q)
donc on a bien   D(P+Q) = D(P) + D(Q)  (1)

2)l'homogénéité:

Soient P un polynôme de R3[X], et un réel,
on a
                  
(une autre propriété de la dérivée d'un polynôme qui se démontre aussi directement à partir de la définition de la dérivée d'un polynôme)
et  
donc on a bien (2)

(1) et (2) entraîne que D est linéaire.

pouvez me detaillez les autres aussi car quand moi j'essaye de les faire je n'arrive pas a voir ce qu'il faut que j parvienne a demontrer et le chemin pour y parvenir est encore flou

Pour T: M2(R) ---> R
            M ---> tr(M) tr: trace

1) additivité
il faut que tu montres que pour deux matrices M et N de M2(R),
on a tr(M+N) = tr(M) + tr(N) (1)

2) homogénéité
il faut que tu montres que pour une matrice M de M2(R) et un réel ,
on a (2)

(1) et (2) entraîne que tr est linéaire.

Pour F: R2 ---> R2
      (x,y) ---> (x+y, x-3y)


1) additivité
il faut que tu montres que pour deux vecteurs de R2,
on a (1)

2) homogénéité
il faut que tu montres que pour un vecteur (x,y) de R2 et un réel ,
on a (2)

(1) et (2) entraîne que F est linéaire.

toujours flou?
essaye de faire 1) et 2) pour la trace
si tu vois pas du tout prends deux matrices de R2 M et N (celles que tu ceux)
additionne les et compare la tr(M+N) et tr(M)+tr(N).
si tu vois pas comment rédiger écris tes deux matrices sous forme et , la trace de M par exemple, c'est les .

celles que tu veux pardon dans M2(R)

j'ai pris deux matrice
M a11 b12         N a'11 a'12
  a21 a22           a'21 a'22


M+N a11+a'11  a12+a'12
    a21+a'21  a22+a'22

tr (M+N)= (a11+a'11)+(a22+a'22)
tr M = a11+a22 tr N = a'11+a'22
tr M+trN = a11+a22+a'11+a'22

c bon ça ?

vi
et t'en déduis facilement que

tr (M+N)= (a11+a'11)+(a22+a'22) = (a11+a22) + (a'11+a'22) = tr(M) + tr(N)

apres tu n'as plus qu à montrer 2), qui n est pas plus difficile
afin d affirmer que tr est une application linéaire.

pour F je nages un peu peux tu me donner un coup de main

Pour F: R2 ---> R2
      (x,y) ---> (x+y, x-3y)


1) additivité

Soient deux vecteurs de R2
On a


(addition dans R2)

(définition de F)

(en virant les parenthèses)

(en réordonnant les termes)

(addition dans R2)
(définition de F)

Donc    (1)

Essaie de montrer 2), avec le même genre de raisonnement.
Beaucoup d applications linéaires ce démontre de cette façon.

oki je vais essayer et si je rencontre un probleme je reviens te voir

si ce n est pas évident pour toi, tu peux aussi t amuser à démontrer (exercice) que la définition de Philippe et celle que je te donne sont équivalentes

Soit f une application de E dans F, E et F étant des espaces vectoriels sur un corps K.
On dit que f est linéaire si

pour tout vecteur x,y de E, et pour tout de K,
on a
1) f(x+y) = f(x)+f(y)
et
2)

OU encore une autre définition équivalente :

pour tout vecteur x,y de E, et pour tout de K,
on a

pour ton exo ça va ms pour celle la j'ai un ptit soucis :
  
I : C([0,1],R) ---> R
    F ---> integrale de 0 à 1 de f(t)dt

Pour

zut

Pour I : C([0,1],R) ---> R
                  f ---> integrale de 0 à 1 de f(t)dt

Soient deux vecteurs f,g de C([0,1],R), et un réel .

On a



   (définition de I)

   (propriétés des fonctions)

   (additivité de l'intégrale)

   (homogénéité de l'intégrale)

   (définition de I)

donc

donc I est une application linéaire.