Niveau terminale

Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence

Posté par
Ludo1be 27-09-09 à 11:07

Voila, dans mon cours portant sur les suites, j'ai rencontré une somme... mais assez spéciale, j'explique.

Style comme ça...
$\Bigsum_{k=1}^\n K² = \frac{K^2=n(n+1)(2n+1)}{6}$

Comment la lire? :/

Puis aussi, j'ai vu les suites bornées, ça aucun souci, l'exemple de $(-1)^n$ la défini très bien, la suite est bornée en -1 et 1.

Les suites croissantes, aucun souci également.

Cependant, j'ai vraiment pas compris les suites convergentes =/ J'ai juste compris qu'en fait on prend deux valeurs sur la suite (par exemple, Epsilon, qui sont des valeurs fixées par les mathématiciens, et étant assez très petite) ensuite je ne comprends plus trop...

Bonne journée,
Ludo1be

PS: En fait c'est mon premier chapitre de cours de 1ere université en Belgique, mais je ne savais pas trop où le classer.

Posté par re : Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence 27-09-09 à 11:10

Pour la suite, LatEx a foire...
AU dessus de la somme, c'est un 'n' et après le K, à la place du [?] c'est un ²

Posté par re : Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence 27-09-09 à 11:31

Bonjour,

$3$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Le premier membre est une somme indexée sur $k$ et se lit:

$1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Je te prépare un petit dessin relatif à la convergence vers une limite $\ell$

Posté par re : Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence 27-09-09 à 11:54

En terminale, il n' est pas indispensable de parler des epsilons, mieux vaut, dans un premier temps, écrire en Français:

On dit qu' une suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d' un certain rang.

Voici un dessin illustrant cette définition:

On a choisi un intervalle ouvert contenant $\ell$

Il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite: $u_{n_0}$ , $u_{n_{0}+1}$ , $u_{n_0+2} \cdots$ sont contenus dans cet intervalle.

Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence

Cette définition se traduit en termes mathématiques avec les $\varepsilon$ , oui, mais elle est plutôt réservée au supérieur.

Au reste, pour montrer qu' une suite est convergente vers $\ell$ , on utilise rarement la définition. Les théorèmes d' encadrement et les règles sur les limtes suffisent souvent.

Posté par re : Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence 27-09-09 à 12:46

Ok, on peut donc dire que la suite converge en U(n)0+2, en U(n)0 et U(n)0+1 dans les intervalles epsillons lorsque la suite converge vers l?

Maintenant, autre chose que j'ai indiqué dans mon titre mais oublié de demander, c'est la récurrence... J'ai vraiiment pas trop bien saisi ce que c'était... Juste compris c'est une méthode, mais a quoi elle sert et comment l'utiliser, je ne sais vraiment pas... Vous pouvez m'éclairer?

Merci en passant cailloux

Posté par re : Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence 27-09-09 à 13:35

Citation :
Ok, on peut donc dire que la suite converge en U(n)0+2, en U(n)0 et U(n)0+1 dans les intervalles epsillons lorsque la suite converge vers l?

Ah non, ça , c' est du charabia (excuse moi)

Si tu tiens vraîment aux epsilons, les voici, mais c' est assez indigeste:

Définition d' une suite $(u_n)$ convergeant vers une limite $\ell$ réelle:

$\forall \varepsilon>0\;\;\exists n_0\;\; n>n_0\Longrightarrow |u_n-\ell|<\varepsilon$

La récurrence:

Il s'agit de démontrer une propriété dépendant d' un entier $n$ pour $n\geq n_0$ . On la note $P_n$

La démonstration par récurrence se fait en 3 étapes:

Initialisation:

On démontre que $P_{n_0}$ est vraie; $n_0$ est le rang à partir du quel on veut prouver cette propriété: très souvent 0 ou 1.

Hérédité:

On suppose que $P_n$ est vraie pour un certain rang $n$ fixé. (c'est l' hypothèse de récurrence).

On démontre alors que $P_{n+1}$ est vraie.

On dit que la propriété est héréditaire.

Conclusion:

On conclut en écrivant:

La propriété $P_n$ est vraie au rang $n_0$ .

De plus, elle est héréditaire.

Elle est donc vraie pour tout $n\geq n_0$

Tu peux essayer pour ta somme des $n$ premiers carrés.

La propriété $P_n$ : Pour tout $n\geq 1$ , $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

On aura ici $n_0=1$

L' initialisation consistera à prouver $P_1$

Pour l' hérédité en supposant que $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour un certain rang $n$ fixé, il faudra prouver que:

$1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Posté par re : Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence 27-09-09 à 13:50

Ok, je commence a bien comprendre, merci.

je relirai à fond mon cours ce soir et ça devrait aller

Encore merci cailloux.
Bonne après-midi

Posté par re : Lire une somme et les suites convergentes et la récurrence 27-09-09 à 13:56

Bonne après midi à toi Ludo1be

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