Bonjour,
J'ai cet exercice à faire pour mon devoir et je n'arrive pas à resoudre la question 5 et 6. Si quelqu'un pouvais me venir en aide se serait gentil. Merci à vous
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0; +∞ [, on pose :
F ( x )= intégrale de 0 à x de ln(1+e(-2t))dt
1) Etudier le sens de variation de F sur  l'intervalle [0; +∞ [

2) Soit a un réel strictement positif.      
   a. Montrer que, pour tout t appartenant à l'intervalle [1; 1+a],on a:                                                
                                   (1/ (1+a)) ≤ 1/t ≤1.
      b. En déduire que a/ (1+a) ≤ ln( 1+a) ≤a.

3) Soit x un réel strictement positif.      
      Déduire de la question  2) que:                                                    
      Intégrale de 0 à x de ((e^-2t)/ (1+e^-2t)) dt ≤ F ( x ) ≤ intégrale de 0 à x de (e^-2t) dt
Puis: (1/2) ln2 - (1/2)ln(1+e^-2x) ≤ F ( x ) ≤ (1/2) - (1/2) e^-2x.

4) On admet que la limite de F ( x ), lorsque x tend vers +∞ existe et est un nombre réel noté I.
Etablir que (1/2) ln2 ≤ I ≤ (1/2).

5) Pour tout n appartenant N, on pose Un=intégrale de n à n+1 de ln (1+e^(-2t))dt                    
           a. Montrer que, pour tout entier naturel n , on a:                    
                0 ≤ Un ≤ ln (1+e^(-2n))    (On pourra utiliser le sens de variation de la fonction h définie sur [0; +∞ [ par   h ( t )=ln(1+e^(-2t)) .        
            b. déterminer la limite de la suite (Un).

6) Pour n appartenant à N, on pose S= U0+U1+U2+...+Un.  
a. Exprimer Sn à l'aide de F et de n.                                  
            b. La suite (Sn) est elle convergente? Dans l'affirmative, donner sa limite.

Merci