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Ln, suite et factoriel... au secours!

Posté par
TheMax 12-03-06 à 14:05

Bonjour,

J'ai de gros problème pour démarrer mon exercice pouvez vous m'aider svp? Merci infiniment

Enoncé:

- u est la suite définie pour tout entier n\ge1 par U_n=4$ \frac{n!e^n}{n^n\sqrt {n}}.

- f est la fonction définie sur ]1;+\infty[ par : f(x)=3$ \frac{1}{x-\frac {1}{2}}+ln(x-1)-ln(x).

- v est la suite définie pour tout entier n\ge1 par V_n=ln(U_n).

3$ 1) Démontrer que pour tout entier n\ge2, V_n-V_{n-1}=(n-\frac {1}{2})f(n).

3$ 2a) Etudier le sens de variation de la suite V.

3$ 2b) En déduire le sens de variation de la suite U.

3$ 3) Démontrer que la suite U est convergente.

Merci beaucoup pour le coup de main. je suis désolé de ne pas pouvoir apporter de détail sur ce que j'ai fais parce que je n'arrive pas à trouver la premiere question.

Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:27

Bonjour,

Quelle expression de V(n)-V(n-1) trouves-tu ?
(Ce n'est pas très dur. Il suffit d'enchaîner les calculs.)

Nicolas

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:30

bah en fait je melange un peu les pinceau, mais en allant pas trop loin j'ai:V_n-V_{n-1}=ln(\frac{U_n}{U_{n-1}})

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:31

Oui. Continue les calculs. Exprime U(n) et U(n-1). Simplifie...

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:33

oui j'ai essayé de faire ça maisj'arrive a un stade ou j'avance plus. je peux détaillé le calcul mais sa va me prendre du temps

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:45

Attends 30 secondes...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:49

3$V_n-V_{n-1}=\ln\frac{U_n}{U_{n-1}}
3$=...
3$=\ln\left(e\cdot\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-\frac{1}{2}}\right)
3$=1+\left(n-\frac{1}{2}\right)\ln(n-1)-\left(n-\frac{1}{2}\right)\ln n
3$=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left{\frac{1}{n-\frac{1}{2}}+\ln(n-1)-\ln n\right}
3$=\left(n-\frac{1}{2}\right)f(n)

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:56

je suis désolé mais j'ai du mal a comprendre. je vois pas trop ce qui est en exposant avec l'exponentiel

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:57

et je vois pas non plus comment sont partie les racine et les factorielle (choses principales qui me genait notament les racine

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 14:57

7$\ln\left(e\times\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-\frac{1}{2}}\right)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:02

Tu m'obliges à faire beaucoup de LaTeX.
Réponse dans quelques minutes.

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:03

je sais, j'en suis vraiment désolé

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:08


3$V_n-V_{n-1}
3$=\ln\frac{U_n}{U_{n-1}}
3$=\ln\frac{\frac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}}}{\frac{(n-1)!e^{n-1}}{(n-1)^{n-1}\sqrt{n-1}}}
3$=\ln\frac{n!}{(n-1)!}\frac{e^n}{e^{n-1}}\frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-1}\cdot n}\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}
3$=\ln n\cdot e\cdot\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}\frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2}
3$=\ln\left(e\cdot\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-\frac{1}{2}}\right)
3$=1+\left(n-\frac{1}{2}\right)\ln(n-1)-\left(n-\frac{1}{2}\right)\ln n
3$=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left{\frac{1}{n-\frac{1}{2}}+\ln(n-1)-\ln n\right}
3$=\left(n-\frac{1}{2}\right)f(n)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:08

Pas de souci. J'aime bien LaTeX !

Posté par
lyonnaisre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:09

et ça se voit

tapper tout ça en 5 min , pas mal

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:11

oui c'est pas mal en effet! merci beaucoup je vais jeté un oeil a tout cela et je reviens en cas de problème
merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:12

OK. N'hésite pas à poster si tu ne comprends pas quelque chose.

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:23

j'ai bien compris ce calcul. j'avais fait quelques erreurs!

pour la question 2a (sens de variation de v) il faut regarder le signe de ce que l'on vient de calculer?
si c'est positif la suite est croissante, si c'est négatif, la suite est décroissante?

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:26

euh non me suis trompé dans ce que je vien de dire

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:27

Oui.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:29

Oui à 15h23.
Tu avais raison.
Pour cela, étudie les variations puis le signe de f.

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:29

oups j'avais raison autant pour moi

f(n) est définie pour n>1 donc f(n) est positif

comme n>1  alors n-(1/2) est positif

V(n)-V(n-1) est donc positif donc la suite v est croissante

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:31

Relis-toi. Tu viens d'écrire une énormité.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:32

Je parle de "f(n) est définie pour n>1 donc f(n) est positif"

Prends par exemple f(x)=-n !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:33

Pardon : "Prends par exemple f(n)=-n !"

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:37

d'accord en effete sa colle pas,

mais en fait l'enoncé que j'ai donné faisait partie d'un exo en deux parties c'est a dire deux etudes. dans la premiere partie on ne passait pas par les suites. c'etait  les chose habituelle a savoir : dérivée, limites, variation de f et signe de f'(x) et f(x)

j'ai trouvé que f est croissante, mais f(x) est négatif (je me rends compte de mon erreur de 15h29!)

je ne sais pas si je peux réutiliser ce que j'ai trouvé dans la premiere partie. je pense que oui mais commes c'est deux etude different pour les meme suite et fonction j'hesite.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:44

Si c'est la même fonction, tu peux bien sûr réutiliser ce résultat.
f est négative, donc la suite est décroissante.
Tu es d'accord ?

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:47

oué je suis tout a fait d'accord.

ensuite pour la suite U il faut faire U(n+1)-U(n) je pense, non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 15:59

Je te suggère plutôt de regarder U(n)/U(n-1)

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:15

daccord, le "en déduire" était pour ça.donc,

on a trouvé dans le développement de U(n)/U(n-1):

3$ e\times (\frac{n-1}{n})^{n-\frac{1}{2}}

comme n\ge2

alors \frac{n-1}{n}>0
n-1/2 > 0

donc 3$ (\frac{n-1}{n})^{n-\frac{1}{2}} > 0

Par conséquent U est croissante.

mais apres plus de reflexion je pense que la suite tend vers 0 (je suis pas très sur de ça)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:17

C'est faux.
Il faut vérifier que U(n)/U(n-1) est supérieur à 1 ! (relis ton cours)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:19

...ou inférieur 1. Il faut le comparer avec 1.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:21

Première méthode :
(Un) est une suite positive.
De plus,
3$\frac{U_n}{U_{n-1}}=\frac{e^{V_n}}{e^{V_{n-1}}}=e^{V_n-V_{n-1}}\le e^0=1
Donc (Un) décroissante.

Deuxième méthode :
(Vn) est décroissante.
La fonction exponentielle est croissante.
Donc (Un=exp(Vn)) est décroissante également.

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:25

ça n peut pas etre superieur a 1 puisque (n-1)/n est compris entre 0 et 1. donc quand on met un exposant ça tend vers 0.  enfin je crois?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:28

Je ne comprends pas ton dernier message. Peux-tu être plus clair. De quoi parles-tu ?

Par ailleurs, je te fais remarquer que 3$\left(\frac{n-1}{n}\right)^n est une forme indéterminée 3$1^{\infty}, qui tend en fait vers 3$1/e

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:41

Je vais bientôt quitter l'
On a donc montré que la suite (Un) était décroissante. Or elle est positive. Donc elle converge.
Hors programme : à l'aide de la formule de Stirling, on peut montrer que
U_n\to\sqrt{2\pi}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:42

j'ai encore un soucis pour montrer la convergence? merci beaucoup d'avance

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:42

il faut surment dire vers quoi elle converge?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:43

Pour la convergence, je viens de le faire ci-dessus. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

D'autre part, non, il ne faut pas donner sa limite. L'énoncé ne le demande pas. Je te l'ai donnée ci-dessus pour information seulement.

Posté par
TheMaxre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:45

d'accord autant pour moi je n'avais pas bien saisi. merci beaucoup pour tout ce boulot! merci de faire des maths le Week End!!
bonne continuation et bonne soirée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ln, suite et factoriel... au secours! 12-03-06 à 16:47

Je t'en prie.
C'était un plaisir.


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