Bonjour à vous. J'ai un exercice où je bloque, que voici :
Soit une fonction définie sur ]0;+infini [ par f(x) =\frac{1}{2}x²-ln(x). On note C sa courbe représentative.
1) Déterminer la fonction dérivée de f.
Pour cette question je m'emmêle : ((1/2 ) /x²)'= u'v+uv'= 0*x²+(2x*(1/2))=(2x/2)
(ln(x))'= 1/x Donc f'(x)=(2x/2)-1/x et après je ne suis pas sûre..
2) Justifier que f'(x) peut s'écrire sous la forme: f'(x)=((x²-1)/x) en déduire le signe de f'(x).
Donc ici, vu que je ne suis pas sûre de ma première dérivée..
3) Étudier les variations de f.
4) Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers 0.
lim(x tend vers 0) de ( (1/2)x²)
lim(x tend vers0) de ((1/2)x²)=0
lim (x tend vers 0) de (lnx)=-infini
donc lim (x tend vers 0 ) de f(x)=-infini
5) Montrer que , pour x différent de 0, f(x) = x[((1/2)*x)-(lnx/x)]. en déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +infini.
6) Construire le tableau de variations de f.
Voilà.. Merci d'avance pour vos réponses !
Bonjour,
: est-ce bien cette fonction ?
Ta fonction est une somme de deux termes, elle est de la forme, donc
Si tu pose et
, tu n'as plus qu'à calculer leurs dérivées respectives et le tour est joué.
Sinon, tu as trouvé le bon résultat :
Bonjour,
Oh, d'accord, je ne connaissais pas du tout cette propriété : (ax)²= 2ax, merci !
Donc pour la question 2, on a f'(x)=x- (1/x), je ne vois pas comment obtenir le x² dans (x²-1)/x ..
Non, ce n'est pas ça. Pour t'aider, tu peux réécrire la forme :
Comment réécris-tu le terme de gauche pour qu'il soit de la forme ?
Je te donne la réponse :
Pour le 3)
Puisque le domaine de définition de est
, alors
, donc le signe de
ne dépend que du numérateur,
Donc quand
donc
ce qui revient à
sur
Donc :
si
si
si
Tu peux faire ton tableau de variation.
4) :
puisque tend vers
,
tend vers
et
tend vers
.
5) On factorise par :
Dans ton cours, tu as sûrement vu que donc la limite de
est celle de
donc
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