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log

Posté par
PetiteLumiere
06-04-16 à 14:20

Bonjour à vous. J'ai un exercice où je bloque, que voici :

Soit une fonction définie sur ]0;+infini [ par f(x) =\frac{1}{2}x²-ln(x). On note C sa courbe représentative.

1) Déterminer la fonction dérivée de f.
Pour cette question je m'emmêle : ((1/2 ) /x²)'= u'v+uv'= 0*x²+(2x*(1/2))=(2x/2)
(ln(x))'= 1/x Donc f'(x)=(2x/2)-1/x  et après je ne suis pas sûre..

2) Justifier que f'(x) peut s'écrire sous la forme: f'(x)=((x²-1)/x) en déduire le signe de f'(x).

Donc ici, vu que je ne suis pas sûre de ma première dérivée..

3) Étudier les variations de f.

4) Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers 0.

lim(x tend vers 0) de ( (1/2)x²)
lim(x tend vers0) de ((1/2)x²)=0
lim (x tend vers 0) de (lnx)=-infini

donc lim (x tend vers 0 ) de f(x)=-infini

5) Montrer que , pour x différent de 0, f(x) = x[((1/2)*x)-(lnx/x)]. en déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +infini.


6) Construire le tableau de variations de f.


Voilà.. Merci d'avance pour vos réponses !

Posté par
lyceen
re : log 06-04-16 à 14:29

Bonjour,

 f(x) =\frac{x^2}{2}-ln(x) : est-ce bien cette fonction ?

Ta fonction est une somme de deux termes, elle est de la forme f(x)=u(x)+v(x), donc f'(x)=u'(x)+v'(x)

Si tu pose u(x)=\frac{x^2}{2} et v(x)=\ln c, tu n'as plus qu'à calculer leurs dérivées respectives et le tour est joué.

Sinon, tu as trouvé le bon résultat : f'(x)=x - \dfrac{1}{x}

Posté par
Labo
re : log 06-04-16 à 14:30

Bonjour,
f(x) =\dfrac{1}{2}x²-ln(x)

Citation :
((1/2 )/ x²)'= u'v+uv'= 0*x²+(2x*(1/2))=(2x/2)

rappel
(ax^2)=2ax    ici a=1/2    

(\dfrac{1}{2}x²)=2*(1/2)x=x

f'(x)=x-\dfrac{1}{x}  OK

Posté par
Labo
re : log 06-04-16 à 14:34

oups...
(\dfrac{1}{2}x²)'=2*(1/2)x=x

Posté par
PetiteLumiere
re : log 06-04-16 à 14:41

Oh, d'accord, je ne connaissais pas du tout cette propriété : (ax)²= 2ax, merci !

Donc pour la question 2, on a f'(x)=x- (1/x), je ne vois pas comment obtenir le x² dans (x²-1)/x ..

Posté par
PetiteLumiere
re : log 06-04-16 à 14:44

ax²=2ax *

Posté par
lyceen
re : log 06-04-16 à 14:50

Tu as f'(x)=x-\dfrac{1}{x}

Si tu réduis les deux termes au même dénominateur, qu'obtiens-tu ?

Posté par
PetiteLumiere
re : log 06-04-16 à 14:53

f'(x)= (1/x)-(1/x) ?

Posté par
PetiteLumiere
re : log 06-04-16 à 14:56

f"(x)= (x/1)-(1/x)*

Posté par
lyceen
re : log 06-04-16 à 14:56

Non, ce n'est pas ça. Pour t'aider, tu peux réécrire la forme :
x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{1}-\dfrac{1}{x}

Comment réécris-tu le terme de gauche pour qu'il soit de la forme \dfrac{...}{x} ?

Posté par
PetiteLumiere
re : log 06-04-16 à 15:00

f'(x)= x((x/1)-(1/x)) ?

Posté par
PetiteLumiere
re : log 06-04-16 à 15:01

J'ai honte là, une simple mise au même dénominateur me bloque..

Posté par
lyceen
re : log 06-04-16 à 15:18

f'(x)= x((x/1)-(1/x)) ?

Presque ça !

x=\dfrac{x}{x}x puisque \dfrac{x}{x}=1 est que x\times1=x

Donc réécris le terme de gauche comme je te le demande.

Posté par
lyceen
re : log 06-04-16 à 15:40

Je te donne la réponse :

[f'(x)=x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x.x}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2-1}{x}

Pour le 3)

Puisque le domaine de définition de f(x) est ]0,+\infty[, alors x>0, donc le signe de f'(x) ne dépend que du numérateur, x^2-1

Donc f'(x)>0 quand x^2-1>0 donc x^2>1 ce qui revient à x>1 sur ]0,+\infty[

Donc :
 f'(x)>0 si x>1
f'(x)=0 si x=1
f'(x)<0 si x<1

Tu peux faire ton tableau de variation.

4) \lim_{n\to0} f(x)=+\infty :
puisque x tend vers 0, \dfrac{x}{2} tend vers 0 et -\ln x tend vers +\infty.

5)  On factorise par x :
f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\ln x=x(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\ln x}{x})

Dans ton cours, tu as sûrement vu que \lim_{n\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 donc la limite de f(x) est celle de x(\dfrac{x}{2}) donc +\infty

lim_{n\to+\infty}f(x)=+\infty

Posté par
PetiteLumiere
re : log 06-04-16 à 15:59

Désolée de mon retard.

D'accord !
Pour le 3) , j'avais trouvé ça aussi.

Par contre pour le 4, je ne comprends pas votre limite..  J'ai une propriété disant que lim (lnx) lorsque x tend vers 0 = - l'infini



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