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Niveau terminale
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Log

Posté par
mariette98
24-05-16 à 20:57

Bonjour à tous.
Je n'arrive pas à résoudre cette équation.

Log2(2x-1) + log22x > 1/log24 . log2144

J'ai d'abord essayé de tout mettre en base 2 mais ça n'a rien donné du coup je suis perdue.

Pouvez-vous m'aider svp?    

Posté par
weierstrass
re : Log 24-05-16 à 21:42

Bonjour,
le terme de droite se simplifie.
Pose X = 2x et élève les deux membres à la puissance 2

Posté par
mdr_non
re : Log 24-05-16 à 23:30

bonsoir : )

weierstrass,

Citation :
Pose X = 2x et élève les deux membres à la puissance 2
Pourquoi faire ?

mariette98,
Ce que tu as là n'est pas une équation mais une inéquation.
Commence par simplifier les membres de gauche et de droite en utilisant les propriétés du logarithme.
Ensuite en faisant usage d'une exponentielle dans une base convenable (ou l'exponentielle tout court) tu essaies d'isoler x.

Posté par
LeDino
re : Log 25-05-16 à 00:55

De tête :  X=2

Posté par
LeDino
re : Log 25-05-16 à 00:56

Oups :  X > 2   inéquation ...

Posté par
mariette98
re : Log 25-05-16 à 16:18

Bonjour. Un grand merci à tous pour votre aide!

LeDino, c'est plus grand ou égal.  Je n'ai pas su mettre la barre en dessous.

Log2(2x-1) + xlog22  ≥ -2log22 . 2log212

Je suis sur la bonne voie ? Je suis bloquée :/

Posté par
mdr_non
re : Log 25-05-16 à 16:20

a > 0 et b >0 : ln(a) + ln(b) = ln(ab)

Posté par
mdr_non
re : Log 25-05-16 à 16:22

Et il est bien de savoir que log2(x) = ln(x)/ln(2), ça permet de simplifier log2(8) = 3 par exemple...

Posté par
mariette98
re : Log 25-05-16 à 16:38

log2(2x-1) + x.(ln2/ln2)  ≥ -2(ln2/ln2) . 2(ln12/ln2)
log2(2x-1) + x  ≥ -2 . 7,17

Ca me parait étrange!

Posté par
mdr_non
re : Log 25-05-16 à 16:39

log2(2^x - 1) + log2(2^x) = log2(2^x * (2^x - 1))

Posté par
mariette98
re : Log 25-05-16 à 16:40

Il faut encore multiplier le membre de droite par 2. J'ai oublier de le noter.

Posté par
mdr_non
re : Log 25-05-16 à 17:38

Alors ?

Posté par
mariette98
re : Log 25-05-16 à 18:01

(2x-1) (2x)  ≥ (4x[sup]2[/sup]) - 2x
4x[sup]2[/sup] - 2x  ≥ 4x[sup]2[/sup] - 2x
0  ≥ 0 ?

Posté par
alb12
re : Log 25-05-16 à 18:09

salut, avec l'aide de LeDino:

1/ la fonction qui à x fait correspondre le premier membre est strictement ... sur ...
2/ les deux membres sont egaux si x=2
3/ conclure

Posté par
mdr_non
re : Log 25-05-16 à 18:10

Qu'est-ce que tu fais ?

Tu es train de résoudre A >= A c'est normal que tu tombes sur 0 >= 0.


Relis calmement ce que j'ai écrit et fais le lien avec ton inéquation.

Posté par
LeDino
re : Log 25-05-16 à 18:54

mariette98 @ 24-05-2016 à 20:57

Log2(2x-1) + log22x  ≥  1/log24 . log2144

On observe d'abord que  2x  et  2x - 1  doivent être tous deux strictement positifs.

log_2 (2^x-1) + log_2(2^x) = \textcolor{blue}{log_2 [(2^x-1)(2^x)]}  \ge  \dfrac{1}{log_2(4)} \, log_2(144) = \dfrac{1}{2}\, log_2(144) = log_2(144^\frac 12) = \textcolor{blue}{log_2(12)}

On applique ensuite la fonction  2 puissance x  à chaque membre de l'inéquation...
... dont le sens restera le même car cette fonction est strictement croissante.

\implies  \textcolor{blue}{(2^x-1)(2^x)}  \ge  \textcolor{blue}{12}

2x  est consécutif de 2x - 1  et le produit de ces nombres vaut  12 = 3 * 4
Donc  2x = 4  est racine évidente du trinôme.
L'autre racine est de signe contraire (car  c=-12 < 0) donc ne convient pas (remarque préliminaire).

D'où la conclusion :  x = 2

---
Désolé de balancer la solution brutalement...
Mais ici je pense que c'est ce qu'il y a de mieux à faire.
Quitte à ce que Mariette reprenne par elle même la démonstration de façon autonome après l'avoir comprise...

Posté par
LeDino
re : Log 25-05-16 à 19:13

Correctif sur la conclusion :  x  ≥  2     ... ça fait deux fois que je radote désolé ...

Posté par
malou Webmaster
re : Log 25-05-16 à 19:22

Bonjour
une autre solution à partir de là :
\textcolor{blue}{(2^x-1)(2^x)}  \ge  \textcolor{blue}{12}

développer, et tout mettre dans un seul membre

2^{2x}-2^x-12  \ge  0

équation du second degré en 2^x
dont on cherche les solutions pour factoriser

(2^x-4)(2^x+3)\ge 0
et là c'est fini
c'est peut-être ce qui pourrait venir à l'idée d'un terminale qui aurait étudié ce type de fcts

Posté par
alb12
re : Log 25-05-16 à 19:22

je pense qu'il faut prioritairement savoir resoudre cette inequation classiquement.
(2^x)^2-2^x-12>=0

Posté par
alb12
re : Log 25-05-16 à 19:23

on est bien d'accord

Posté par
mariette98
re : Log 25-05-16 à 19:30

LeDino je pense aussi que c'était la meilleur chose à faire.
Mais j'ai quand même relu calmement comme me l'a conseillé mdr_non.
J'ai fais comme weierstrass m'a dit de faire. Poser y=2x
Et je me demandais si ce que j'ai fais plus bas est correct?
Et je pense que ce sera enfin ma dernière question.   
(2x)2 - 12  ≥ 0  
On pose y = 2x
y2 - y - 12  ≥ 0          Delta = 1-4.1.(-12)=49    y1,2 = 4 et -3
-3 est à rejeter donc: y= 4 = 22  donc x=2

Posté par
malou Webmaster
re : Log 25-05-16 à 19:51

tu as la réponse dans le post de 19h22

Posté par
mariette98
re : Log 25-05-16 à 19:57

Ok ok. Encore merci à tous et au revoir.

Posté par
LeDino
re : Log 25-05-16 à 23:14

mariette98 @ 25-05-2016 à 19:30

On pose y = 2x
y2 - y - 12  ≥ 0          Delta = 1-4.1.(-12)=49    y1,2 = 4 et -3
-3 est à rejeter donc: y= 4 = 22  donc x=2
C'est correct.

Tu pouvais aussi aller plus vite en observant qu'il y avait une solution évidente y=4.
Cette solution est évidente quand on voit l'équation sous la forme  y(y-1) = 12
Parce qu'il est évident que 4*3=12...
Mais ta méthode est très correcte et tu as bien compris qu'il fallait écarter -3 qui est négatif.

---
As-tu bien compris le début de la démonstration : la partie qui consiste à transformer les  deux membres grâce aux propriétés du log ? Puis à passer à la puissance 2 de chaque terme ?

Posté par
mariette98
re : Log 26-05-16 à 21:02

Oui j'ai compris

Posté par
LeDino
re : Log 26-05-16 à 21:22

Cool .



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